定積分と極限

質問

[e^(-s + ia )t/(-s+ia ) + e^(-s-ia)t/(-s-ia )]0～∞
が
{(lim[t→∞]e^(-s + ia )t-e^0)/(-s+ia ) +(lim[t→∞]e^(-s-ia)t-e^0)/(-s-ia)}

となるのはなぜですか？
手元には参考書等がないので、お願いします

回答No.1

info22_

多分、2cos(at) のラプラス変換の計算でしょう。

[(e^(-s + ia )t)/(-s+ia ) + (e^(-s-ia)t)/(-s-ia )]=G(s,t) とおくと

[(e^(-s + ia )t)/(-s+ia ) + (e^(-s-ia)t)/(-s-ia )]0～∞
=lim(t→∞) G(s,t) - lim(t→0) G(s,t)
t→∞の時のG(s,t)はすぐ求まらないのでそのままにし、t→0の時のG(s,t)は確定しG(s,0)になるので
=lim(t→∞) G(s,t) - G(s,0)
=lim(t→∞) [(e^(-s + ia )t)/(-s+ia ) + (e^(-s-ia)t)/(-s-ia )]
　- [e^0/(-s+ia ) + e^0/(-s-ia )]
=lim(t→∞) [(e^(-s + ia )t)/(-s+ia )-e^0/(-s+ia )]
+ lim(t→∞) [(e^(-s-ia)t)/(-s-ia )- e^0/(-s-ia )]
と
>{lim[t→∞](e^((-s+ia )t)-e^0)/(-s+ia ) +(lim[t→∞](e^((-s-ia)t)-e^0)/(-s-ia)}
の式になります。

普段、定積分は、積分の上限を原始関数に代入したものから、
積分の下限を原始関数に代入したものを引く操作を機械的に計算していると思いますが
本来は(t→上限)とした極限から、(t→下限)とした極限を差し引く計算をするのが積分の定義ですが(t→上限)とした極限が(t=上限)とした値と一致する場合はt=上限を代入して構いません。下限についても同じことが言えます。

なお
t→∞の時の値は、現実の物理現象ではs=σ+iω(σは正の限りなく小さな実数)と仮定できるとして
{lim[t→∞](e^((-s+ia )t)-e^0)/(-s+ia) +lim[t→∞](e^((-s-ia)t)-e^0)/(-s-ia)}
={lim[t→∞](e^((-σ-iω+ia)t)-1)/(-σ-iω+ia )
+lim[t→∞](e^((-σ-iω-ia)t)-1)/(-σ-iωs-ia)}
={lim[t→∞](e^(-σt-i(ω-a)t)-1)/(-σ-iω+ia )
+lim[t→∞](e^(-σt-i(ω+a)t)-1)/(-σ-iω-ia)}
={lim[t→∞](0*e^(-i(ω-a)t)-1)/(-σ-iω+ia )
+lim[t→∞](0*e^(-i(ω+a)t)-1)/(-σ-iω-ia)}

|e^(-i(ω-a)t)|=1,|e^(-i(ω+a)t)|=1なので

={lim[t→∞](0-1)/(-σ-iω+ia ) +lim[t→∞](0-1)/(-σ-iω-ia)}
={-1/(-σ-iω+ia ) -1/(-σ-iω-ia)}

s=σ+iωよりsに戻して

=1/(s-ia ) +1/(s+ia)
=2s/(s^2 +a^2)

と 2cos(at)のラプラス変換となります。

お礼

分かりやすかったです
ありがとうございました