高校の物理の問題です

質問

物体の水中での浮き沈み運動の問題です。
水中にA押し込んで放した時
運動方程式は
ｍａ＝ｍｇ－ρS（ｘ＋A） になると思います
ρ＝水の密度 S＝底面積 ｘ＝静止してる時水面より下の長さです。

ここからが問題です。

１．つり合いの位置を通過するときの速さｖをS、A、ρ、ｍ を用いて表しなさい

２．運動方程式にしたがって円柱物体が周期的に振動するとき
物体のつり合いの位置から変位ｘが満たすべき条件を、S、L、ρ、ｍ をもちいて表しなさい

答えと解説をお願いします
運動方程式あってますよね...(^^;

回答No.2

Willyt

この問題では円柱の物体の速度が遅く、水の抗力、粘性抵抗が無視できるとしなければ高校程度のレベルを超えてしまいます。ですからこの仮定の下で方程式を立てます　円柱にかかる力は重力と浮力です。重力はｍｇ　浮力は上向きに ρＳＬですから運動方程式は円柱が完全に水没しているときは ma=mg-ρＳＬ　となります。水からｘだけ浮き上がったときの浮力は ρＳ（Ｌ－ｘ）となりますから　ma=mg-ρS(L-x) となります。　押し込んだ深さＡは微分方程式を解いたときに入る積分定数を決めるときに初期条件として使用します。８

回答No.1

Quarks

１．物体に働く力がした仕事量に相当する分、運動エネルギーが増加することを利用しましょう。
静止状態からＡだけ水中に押し込んでから、抑えていた力を外すと、物体は浮力によって浮き上がってきます。この浮き上がり運動を考えましょう。
物体に働いている力は、重力と浮力の２つです。

　重力：ｍｇの大きさで、常に鉛直下向き。
重力がした仕事Ｗ1は
　Ｗ1＝ｍｇ・Ａ・cos180°＝－ｍｇＡ
釣り合いの条件から
　ｍｇ＝ρＳｘ・ｇ
ですから
　Ｗ1＝－ρＳｘ・ｇ・Ａ
です。　

　浮力：手放した瞬間は　ρＳ(Ａ＋ｘ)・ｇで鉛直上向き、その後浮き上がりに伴ってすこしずつ小さくなり、釣り合いの位置に戻ったときにはρＳｘ・ｇになっています。この間、沈んだ深さに比例した大きさになっているので、平均して
　(1/2){ρＳ(Ａ＋ｘ)・ｇ＋ρＳｘ・ｇ}
　＝(1/2)ρＳ(Ａ＋２ｘ)・ｇ
の大きさだったと考えて良いです※。浮力がした仕事Ｗ2は
　Ｗ2＝(1/2)ρＳ(Ａ＋２ｘ)・ｇ・Ａ
　＝(1/2)・ρＳｇ・Ａ^2＋・ρＳｘ・ｇ・Ａ
です。

結局、物体が受けた仕事の総量はＷ1＋Ｗ2ですから
　Ｗ1＋Ｗ2＝(1/2)・ρＳｇ・Ａ^2
これが運動エネルギーの増加分(1/2)ｍｖ^2に等しいわけですから
　(1/2)ｍｖ^2＝(1/2)・ρＳｇ・Ａ^2
∴　ｖ＝Ａ・√(ρＳｇ/ｍ)　

※　バネを押し込む仕事（或いはバネがする仕事）を考えたときと似ています。バネの弾性力は
　F＝ｋ・ｘ
で、伸びｘに比例した大きさです、このとき、バネがした仕事は
　W＝(1/2)・ｋｘ^2
これは
　{(1/2)・ｋｘ}・ｘ
なので、平均(1/2)・ｋｘの力を加えていたのと同じことです。浮力も、水中に没した深さに比例した大きさなので、バネの弾性力のときと全く同じ結果になります。

２．
文字を定義し直しましょう。
釣り合いの位置で、水中に没している物体の長さをＬ，釣り合いの位置から押し込んだ長さをＡ，振動しているとき、水中に没している長さをＬ＋ｘとします。

運動方程式は、
>ｍａ＝ｍｇ－ρS（ｘ＋A）
重力加速度ｇが抜けていました。
　ｍａ＝ｍｇ－ρS(ｘ＋Ｌ)ｇ
ですね。
釣り合いの条件
　ｍｇ＝ρSＬｇ
を使うと
　ｍａ＝－ρSｇ・ｘ
この運動方程式を直接解くのは、高校物理の範囲を超えます。
しかし、運動方程式は、
　Ｆ＝－ｋ・ｘ
の形をしていることを教えています。
物体に働く力合力Ｆ（つまりはｍａです）が、変位ｘに比例した大きさで、Ｆとｘとの向きは正反対だということです。これは、合力Ｆが「復元力」と呼ばれる力で、復元力を受けた物体は単振動するということがわかっています。
単振動する物体の変位ｘは
　ｘ＝Ａ・sin(ωt＋δ)
の形式で表現されることがわかっています。ここで、
　Ａ：定数で「振幅」と呼ばれる量（単位は長さの次元を持つ[m]）
　ω：これも定数で、「角振動数」と呼ばれる量（単位は[rad/s])
　ｔ：時間。単位は[s]
　δ：「初期位相」と呼ばれる量で、単位は[rad]
実際にこのｘを運動方程式
　ｍ・d(dｘ/dｔ)/dｔ＝－ρSｇ・ｘ
に代入すると、方程式を満たす解であることがわかります。
　dｘ/dｔ＝Ａ・ω・cos(ωt＋δ)　　なお、dｘ/dｔ＝ｖ（速度）です。
　d(dｘ/dｔ)/dｔ＝dｖ/dｔ
　＝－A・ω^2・sin(ωt＋δ)＝－ω^2・ｘ
つまり
　ｍ・(－ω^2・ｘ)＝－ρSｇ・ｘ
が成り立つわけです。
∴　ω^2＝ρＳｇ/ｍ
ｔ＝０でｘ＝Ｌでしたから、釣り合い位置から水中に押し込んだ長さＬが、振幅Ａであることもわかります。
　ｘ＝Ａ・sin(ωt＋δ)
より
　Ｌ＝Ａ・sin(δ)
　δ＝90°＝π/２[rad]
であることもわかります。
∴　ｘ＝Ｌ・sin(ωt＋δ)
　＝Ｌ・sin({√（ρSｇ/ｍ)}t＋π/2)
　＝L・cos({√(ρSｇ/ｍ)}t)