トポロジーの問題です。

質問

Ｒ＾ｎの任意の凸部分集合は可縮であることを示したいのですが、凸であることをうまく利用して解けません。

どなたか教えていただけないでしょうか？よろしくお願いします。

回答No.1

grothendieck · ベストアンサー

任意の凸部分集合をXとし、f0をXからXへの恒等写像とします。またXの一つの定点をx1とし、f1はXの全ての要素をx1に対応させるxをXの任意の点とし、
　x(t) = (1-t)x + t x0
とすれば、Xは凸なのでt∈[0,1]でx(t)はXに含まれます。
　F(x,t) = x(t)
とすればFはf0とf1のホモトピーをあたえ、R^nが可縮であることが解ります。

お礼

ありがとうございました。凸部分であることをどう使えばよいのかわからず悩んでいたのですが、回答していただいたおかげで解くことができました。ほんとにありがとうございます。