幾何学の証明問題です。

質問

Rの任意１点xからなる集合{x}はRの閉集合である。
これを示せ。
詳しい証明お願いします。

回答No.2

Caper · ベストアンサー

● R の開集合の定義は、次の 1) 2) 3) が土台となっていますでしょうか。

1) R の 2つ の要素 a と b との距離が |a - b| と定義される。
2) R の 要素a を中心とし 正の数r を半径とする ( 開 ) 球体が次のとおりに定義される。
　 {u| u ∈ R, |a - u| < r}
3) R の 部分集合M の内点と 内部 ( もしくは開核 ) が次のとおりに定義される。
・ 点a が次の条件を満たすとき、a は M の内点であると言うことができる。「 適当な正の数 r が決まり、a を中心とし半径を r とする ( 開 ) 球体 が M に含まれるようにできる 」
・ M の内点全部の集合を M の 内部 ( もしくは開核 ) と呼ぶ。

　 上記の 1) 2) 3) が土台となって R の開集合が定義されているとします。その場合の証明でしたら、次のとおりになるのではないでしょうか。
　 まちがっていましたら、ごめんなさい。

● R から任意に選んだ 要素x をいまここで固定します。x とは異なる R の 要素y を任意に選びます。すなわち、y は「 R に対する {x} の補集合 」から任意に選んだ要素です。
　「 R に対する {x} の補集合 」を、以後、R - {x} と表わすことにします。

　 距離の定義により、x と y が R の異なる要素であるということから、x と y との間の距離は 0 ではなく、必ず正の数になります。換言すれば、y に対して、x に依存する正の数が決まります。いまその正の数を ε と表わすことにします。
　 y を中心とし半径を ε とする ( 開 ) 球体は、x を含みません。すなわち、y を中心とし半径を ε とする ( 開 ) 球体は、R - {x} に含まれます。

　 R - {x} から任意に選んだ 要素y に対して、適当な正の数 ε が決まり、y を中心とし半径を ε とする ( 開 ) 球体が R - {x} に含まれるようにできるわけですから、R - {x} から任意に選んだ 要素y は R - {x} の内点になります。
　 すなわち、R - {x} ⊆ ((R - {x}) の 内部 ( もしくは開核 )) です。
　 内部 ( もしくは開核 ) の定義より、((R - {x}) の 内部 ( もしくは開核 )) ⊆ R - {x} であることは明らかです。
　 よって、R - {x} = ((R - {x}) の 内部 ( もしくは開核 )) です。
　 よって、開集合の定義より、R - {x} は開集合になります。

　 閉集合に関係する定理により、R - {x} が開集合ならば、{x} は閉集合になります。

お礼

細かく教えてくれてありがとうございます♪

回答No.1

Tacosan

ではまず「R の閉集合」の定義をどうぞ.