計算で困っています。

質問

http://www.me.tokushima-u.ac.jp/~miw/wadai/IP3/06/10/10.html

上のページでわからないところがあるので教えてください。

【このとき、数値計算的なf(x,y)の2変数導関数fx(x,y)、fy(x,y)を直接算出する代わりに f(x,y)の重み付き平均で求めることができる。 ここで、w2=1の場合、 となるが、これが2次のルンゲクッタ公式（修正オイラー法）である。】
【】でかこまれている部分がどのような計算をした結果w２＝１のときの2式が出てくるのかまったく手が出ないので、途中計算や考え方を教えてください。

回答No.1

muturajcp · ベストアンサー

比較的簡単な場合のルンゲクッタ法-2次の場合
y(x0+h)=y(x0)+hψ
ψ=w1k1+w2k2
k1=f(x0,y0)
k2=f(x0+ah,y0+bhk1)
でy(x0+h)を算出するとする。
…
(3)式と(4)式が等しくなる条件は,
w1+w2=1
w2a=w2b=1/2
である。
…
ここで,w2=1の場合,
xn=x0
yn=y(x0)=y0
y{n+1}=y(x0+h)
k=y0+bhk1
とすると
w1=1-w2=0
a=b=1/(2w2)=1/2
↓
y{n+1}=y(x0+h)
=y(x0)+hψ
=yn+h(w1k1+w2k2)
=yn+hk2
=yn+hf(x0+ah,y0+bhk1)
=yn+hf(xn+h/2,k)

k=y0+bhk1
=yn+(h/2)f(x0,y0)
=yn+(h/2)f(xn,yn)
↓
y{n+1}=yn+hf(xn+h/2,k)
k=yn+(h/2)f(xn,yn)