定点を通る曲線の方程式の問題です。

質問

定点を通る曲線の方程式の問題です。
以下の問題がわかりません・・・

[問]
縦軸y(0≦y≦1) 横軸t(0≦t≦100)とする直行座標において
定点(0,0)、(100,0)を通り
t=tのとき、y=1を常に頂点とする
なめらかな曲線の方程式を求めよ。

イメージとしては第一象限における
y=x√(1-x^2)
のグラフの頂点がy=1上を移動するグラフに近いかなと思います・・・

どなたか解る方がいれば教えていただきたいです。
宜しくお願い致します

回答No.5

178-tall

>　Q(x) = ax*(1-x^2)/(1+c*x^2)　などのスタイルにすれば、いけるのかも。

このスタイルでも、「多項式」の「弱点」を回避できました。

　Q(x) = Ax*(1-x^2)/(x^2 + a)
として、無理やりターゲットの条件を当ててやると、
　　a = (t^2)*(1+t^2)/(1-3t^2)
　　A = (t^2 + a)/{t*(1-t^2)}
となる。

回答No.4

178-tall

>　Q(x) = ax*(1-x^2)/(1+c*x^2)　などのスタイルにすれば、いけるのかも。

多項式なら簡単、というのは単なる妄想。
有理関数スタイル Q(x) のほうが、目算を楽にできます。

たとえば、
　q(x) = {x(x^2-1)}^2/{x(x^2-1)}^2 + A(x^2-t^2)^2}
としてみると、
　q(0) = q(1) = 0
　q(t) = 1
だとわかります。

q(t) の 1/2 乗をとれば、下記の奇関数 Q(x) が得られます。
　Q(x) = x(x^2-1)/( √{x(x^2-1)}^2 + A(x^2-t^2)^2} }
A は任意定数で、メタボ体型のシェーピングができます。

回答No.3

178-tall

>縦軸y(0≦y≦1) 横軸t(0≦t≦100)とする直行座標において
>定点(0,0)、(100,0)を通り　t=tのとき、y=1を常に頂点とする　なめらかな曲線の方程式を求めよ。

横軸を x とし、かつ 100 で規準化したスケールにしてみる。
つまり、定点 (0,0), (1,0) を通り、x=t (0 < t < 1)にて頂点になるなめらかな曲線、がターゲット。

簡単に合成できそうな多項式 P(x) から…。
　P(x) = ax*(1-x^2)*(1+b*x^2)
無理やりターゲットの条件を当ててやると、
　b = (3t^2-1)/(3t^2-5t^4)
　1/a = t*(1-t^2)*(1+b*t^2)
となりました。

このタイプには、弱点あり。
通用範囲が t = 0.45 ～ 0.75 あたりであること。
新たな零点が x = 0 ～ t や x = t ～ 1 の間に来てしまいます。

未検討ですが、
　Q(x) = ax*(1-x^2)/(1+c*x^2)
などのスタイルにすれば、いけるのかも。

差し当たり、時間切れ…。

回答No.2

info22_

>定点(0,0)、(100,0)を通り
>t=tのとき、y=1を常に頂点とする
>なめらかな曲線の方程式を求めよ。

この表現では
0≦t≦100を満たす任意のtで常にy=1になるということから
0≦t≦100でy=1(一定)となります。
しかもyはtの任意のなめらかな曲線の関数と言うことなので

>定点(0,0)、(100,0)を通り

と矛盾します。

なので、この問題の質問のままでは、質問者さんが例に上げているような関数は条件を満たしません。

回答No.1

spring135

＞t=tのとき、y=1を常に頂点とする

趣旨不明です。

ｙ＝1 (0≦t≦100）
ｔ＝0　（０≦ｙ≦1）
ｔ＝100　（０≦ｙ≦1）

でいいのではありませんか。

訳の分からない絵をつけているのが全くナンセンスです。