高校の数学の問題、教えてください

質問

高校の数学の問題、教えてください
高三、文系です

できれば早めのご回答よろしくお願いしますm(_ _)m

a,b,cを実数とする。f(x)=ax^2+bx+c　が　0≦x≦1の範囲で　|f(x)|≦1　を常に満たすとき

(1)f’(0)をf(0)、f(1/2)、f(1)を用いて表せ
(2)|f’(0)|≦8を証明せよ
(3)|f’(0)|=8の時のf(x)を求めよ

（１）は分かりました。
答えは　f’(0)=-3f(0)+4f(1/2)-f(1)　です

（１）の答えを利用するのだろうと思うのですが、よくわからなくて困っています

回答よろしくお願いします。

回答No.2

ferien · ベストアンサー

＞a,b,cを実数とする。f(x)=ax^2+bx+c　……（＊）　が　0≦x≦1の範囲で　|f(x)|≦1　を常に満たすとき

＞(1)f’(0)をf(0)、f(1/2)、f(1)を用いて表せ
ｆ'（ｘ）＝２ａｘ＋ｂより、ｆ'（０）＝ｂ
ｆ（０）＝ｃより、－３ｆ（０）＝－３ｃ
ｆ（1/2）＝ａ/4＋ｂ/2＋Ｃより、４ｆ（1/2）＝ａ＋２ｂ＋４ｃ
ｆ（１）＝ａ＋ｂ＋ｃより、－ｆ（１）＝－ａ－ｂ－ｃ
＞答えは　f’(0)=-3f(0)+4f(1/2)-f(1)　です

＞(2)|f’(0)|≦8を証明せよ
0≦x≦1の範囲で　|f(x)|≦1　を常に満たす　から、－１≦ｆ（ｘ）≦１
－１≦ｆ（０）≦１より、－３≦３ｆ（０）≦３だから、
－３≦－３ｆ（０）≦３　……（１）
－１≦ｆ（1/2）≦１より、－４≦４ｆ(1/2）≦４……（２）
－１≦ｆ（１）≦１より、－１≦－ｆ（１）≦１……（３）
（１）（２）（３）各辺同士加えて
－３－４－１≦－３ｆ（０）＋４ｆ（1/2）－ｆ（１）≦３＋４＋１
－８≦ｆ'（０）≦８だから、よって、｜ｆ'（０）｜≦８

＞(3)|f’(0)|=8の時のf(x)を求めよ
)|f’(0)|=8より、ｆ'（０）＝±８
ｆ'（０）＝８のとき、ｂ＝８
このとき、不等式（１）（２）（３）の右側の各値から、
－３ｆ（０）＝－３ｃ＝３より、ｃ＝－１
４ｆ（1/2）＝ａ＋２ｂ＋４ｃ＝ａ＋２×８＋４×（－１）＝４より、ａ＝－８
－ｆ（１）＝－ａ－ｂ－ｃ＝８－８＋１＝１で等式を満たす。
よって、（＊）にａ，ｂ，ｃの値を代入して、
ｆ（ｘ）＝－８ｘ^2＋８ｘ－１
ｆ'（０）＝－８のとき、同様にして、（３つの不等式の左側の各値から）
ａ＝８，ｂ＝－８，ｃ＝１
（＊）に代入して、ｆ（ｘ）＝８ｘ^2－８ｘ＋１
よって、
ｆ（ｘ）＝－８ｘ^2＋８ｘ－１　または　ｆ（ｘ）＝８ｘ^2－８ｘ＋１

どうでしょうか？計算を確認してみて下さい。

お礼

参考になりました！

もう一度自分でやり直してみます(｀・ω・´)

ありがとうございました。

回答No.3

mister_moonlight

見かけは面倒そうだが、気がつけば　線型計画法という基本に帰着する。

(2)
f(x)=ax^2+bx+c　が　0≦x≦1の範囲で　|f(x)|≦1　を常に満たすから　f(0)、f(1/2)、f(1)についても成立する。
よって、-1≦c≦1、-1≦a+b+c≦1、-1≦a+2b+4c≦1。
-1≦c≦1、-1≦a+b+c≦1　から　-1≦-1-a-b≦c≦1-a-b≦1が成立する。
つまり、a＋b≦0、a＋b≧0だから　これを満たすのは　a＋b＝0だけ。
この時、-1≦a+2b+4c≦1　は　-4≦b+4c≦4。この2つの条件：-1≦c≦1、-4≦b+4c≦4　をbc平面上に図示すると、-8≦b≦8。その時、(b、c)＝(8、-1)、(-8、1)。
f’(0)＝bだから　|f’(0)|≦8になるのは　自明。

(3)
｜f’(0)|=8　になるのは　(b、c)＝(8、-1)、(-8、1)で　a＋b＝0だから　f(x)＝-8x＾2+8x-1、or、f(x)＝8x＾2-8x+1。

お礼

ありがとうごさいました(*´`)

回答No.1

Tacosan

三角不等式

補足

回答ありがとうございます！！

申し訳ありませんが理解力の乏しい私にもう少し詳しく教えていただけませんか？...(>_<)