高校数学です。画像の点Ｇは重心なのですが、

質問

基点はどこをとってもいいから、ＯＧ＝ＴＧ＝(ａ↑＋ｂ↑＋ｃ↑)／３ ってなるのですよね？

回答No.3

htms42

多分、「三角形ＡＢＣの重心Ｇの位置は基準点の取り方によらない」ということとごっちゃになっているのだと思います。重心ＧはＡ，Ｂ，Ｃで決まります。位置Ｇをベクトルで表すときには基準点をどこにとったかによって変わってきます。これは点Ａ、Ｂ、Ｃをベクトルとして表す時に、Ｏを基準にとって表すか、Ｔを基準にとって表すかで異なってくるというのと同じことです。位置は変わらなくても表現は変わるのです。

回答No.2

suko22

＞ＯＧ＝ＴＧ＝(ａ↑＋ｂ↑＋ｃ↑)／３ ってなるのですよね？
なりません。図を見ても少なくとも大きさが違うのでＯＧ↑＝ＴＧ↑にはならないのでは？

位置ベクトルの考え方に勘違いがあるのでは？

ある点Ｏを基点にして点Ｏと各点（例えばＯＡ↑、ＯＢ↑、ＯＣ↑）を使ってＯＧ↑を表すと、
ＯＧ↑＝（ＯＡ↑+ＯＢ↑+ＯＣ↑）/3
となります。
ここでＯＡ↑=a↑、ＯＢ↑=b↑、ＯＣ↑=c↑とするなら、ＯＧ↑＝（a↑+b↑+c↑）/3となります。

ＴＧ↑は始点は点Ｔです。（ＴＡ↑、ＴＢ↑、ＴＣ↑）を使うと、ＴＧ↑＝（ＴＡ↑+ＴＢ↑+ＴＣ↑）/3
となります。ここでＴＡ↑=a↑、ＴＢ↑=b↑、ＴＣ↑=c↑とおくなら、ＴＧ↑＝（a↑+b↑+c↑）/3となります。

位置ベクトルの基点はどこに設定してもいいのは確かですが、始点が点Ｏの場合と点Ｔの場合では上記のようにa↑、b↑、c↑のおき方が変わっていますので注意が必要です。

回答No.1

entap

なりません。
この図によれば、OA=a↑、OB=b↑、OC=c↑です。
ですから、(ａ↑＋ｂ↑＋ｃ↑)／３が表すのは常にOG↑です。

もし、ＴA=a↑、ＴB=b↑、ＴC=c↑ととるならば、
(ａ↑＋ｂ↑＋ｃ↑)／３が表すのはＴG↑となります。

３ベクトルの平均値は重心のベクトルを表す、とは、丁寧に言えば、

基点からの３ベクトルの合計値の1/3は、基点から見て３ベクトルの終点を頂点とした三角形の重心を終点とする、基点から始まるベクトルを表す

ということになります。