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蒸発後の濃度分布の計算について
- 蒸発後の濃度分布の計算方法を教えてください。
- 円筒容器内に気化した蒸気の濃度分布をエクセルで計算したいです。
- 蒸発後の濃度分布の計算式を教えてください。
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表計算程度では無理そうな気がします。 VBA使えばできるかも。 一応考え方を書いておきます。 最も単純な一次元の中央差分の陽解法でいきます。 支配方程式は dc/dt = D d^2c/dx^2 で、これを差分化すると、 ( c(n+1,i)-c(n,i) ) / dt = D ( c(n,i+1)-2c(n,i)+c(n,i-1) ) / dx / dx 但し、nは時間ステップ、iはi番目のノードを表します。 よって、 c(n+1,i) = c(n,i) + D ( c(n,i+1)-2c(n,i)+c(n,i-1) ) / dx / dx * dt --- (1) ここで問題になるのが、i =1とi=m(ノードmが一番大きいノード番号とする)の扱いです。 底には液体が溜まっているということで壁でしょうが、上部は開放でしょうか。 開放だと蒸気が逃げていくので扱いがちょっと面倒です。 とりあえず一般的な記述を行います。 -D dc/dx = A Aは、底の部分だと蒸発速度、開放端の場合は外部へ逃げるフラックス(流束)となります。 差分化すると、 -D ( c(n,i+1) - c(n,i-1) ) / (2 dx) = A より c(n,i-1) = 2 A dx / D + c(n,i+1) --- (2) または逆に c(n,i+1) = c(n,i-1) - 2 A dx / D --- (3) です。 底(i=1)を想定して式(2)を式(1)に代入すると、 c(n+1,i) = c(n,i) + 2 D ( c(n,i+1)-c(n,i) ) / dx / dx * dt + 2 A / dx * dt --- (4) を得ます。 Aは A≡-D ( c(n,i)-c(n,i-1) )/dx と書けるはずであり、一方、液体が存在していて、常に蒸気を供給し続けている場合は、連続性から、 A = -D( c(n,i+1)-c(n.i) )/dx --- (5) となるはずです。 式(5)を式(4)に代入すると、 c(n+1,i) = c(n,i) + 2 D ( c(n,i+1)-c(n,i) ) / dx / dx * dt - 2 D ( c(n,i+1)-c(n,i) ) / dx / dx * dt = c(n,i) となることから、底では常に濃度が一定、すなわち飽和濃度が維持されていることが分かります。 一方、蒸発し終えると、A=0になります。 つまり、蒸発し終えた時間からA=0として解いていけば良いということになります。 上端(i=m)の場合は、式(3)を式(1)に代入すれば良いです。 上端が壁の場合は、蒸気はどこにも逃げられませんから、A=0であり、すなわち壁での濃度勾配は0となります。 逃げる場合は、そうですねえ、多分、上端の圧力(正確には分圧 c(n,i)kT)と上端のすぐ上の開放空間の分圧との差というか濃度勾配により逃げ方が決まるとして記述できれば良いですが、多分なかなか難しいので、もう少し計算領域を大きくとって、十分大きな領域の境界において濃度勾配0とした方が正確な答えに近づくでしょう。 濃度の初期条件としては、c(1,1)=飽和濃度、それ以外は0というのが単純ですが、そうするとc(1,2)との間の濃度勾配が非常に大きくなるので、ちょっとテクニックが必要になるかもしれません。 初期条件として全領域をc=0、i=1においてA=有限という境界条件の方が良さそうな気はします。 後は、蒸発速度ですね。 これは液体の種類や、もちろん温度等によって変わるので、ちょっと何とも言えませんし、解析的に記述できるのかというと、なかなか難しそうな気がします。 基本的には、液体の分子同士の結合エネルギーを上回るだけの運動エネルギーを得られた分子だけが蒸気として飛び出していくということになるので、結合エネルギーが分かれば、速度分布関数を結合エネルギーに相当する速度以上～∞の範囲で積分してあげるといけそうな気はしますが、実験的に求められた経験式があるなら、その方が手っ取り早いですね。 実は蒸発速度の部分が一番難しい箇所だったりしますね。
お礼
回答ありがとうございます。 頂いたアドバイスをもとに計算してみます。