拡散方程式（フィックの第２法則）

質問

次の問題の解き方がわかりません。
どなたか手助けをいただければ大変ありがたいです。どうかよろしくお願いします。

「問 拡散方程式（フィックの第２法則）を記せ。また、時刻t=0において、水が入った直方体の容器の１つの面上に均一の濃度で存在していた色素分子が時間とともに内部に拡散していく過程について、面からの距離xの時刻tにおける色素の濃度c(x,t)を表す式を記せ。（指数部分のみでよい）

また、時間Ｔが経過した後の、色素分子の平均拡散距離はどの程度になるか。」

どうか知恵をお貸しください。
拡散方程式は∂c/∂t=D(∂^2c/∂x^2)だと思うのですが・・・

回答No.1

c80s3xxx

半無限1次元拡散でよいという問題設定なので，その方程式に問題条件に合う初期条件，境界条件を与えて解けばいいだけですが．
水面をx座標原点に取り，位置 x，時刻 t における濃度を c(x,t) とすれば，初期条件は c(0,0)=c0，c(x,0)=0 (x≠0)，境界条件は，x<0 を考えないこと，さらに，色素の総量が一定，つまり∫c(x,t)dx (積分範囲は x=0 ～ ∞) が，常に一定値 (Cとでもおけばよい) という制約もかかります．
平均拡散距離は，重心の位置を求めればいいでしょう．

お礼

ご回答ありがとうございます。

すみません、条件を教えていただいたので解こうとしたのですが、どういう風に解いたらよいのかわかりませんでした・・・
拡散方程式からどのように式を展開したらよいのか、お手数ですが教えていただけないでしょうか。

また、重心の位置の求め方も教えていただけるとありがたいです。