濃度の計算

質問

考えてもどうしてもわからず、質問させていただきます。
濃度Aの食塩水（ｘｇ）と濃度Bの食塩水（ｙｇ）を混ぜて、濃度Cの食塩水(x+y g)をつくるとき、濃度A、Bの食塩水をどのような比で混合すればいいのか。
というような問題があるとき、よくたすきがけを使い簡単に濃度をだすことができますが、この方法が使えないものを考えるといのが、問題です。（たすきがけの方法がうまく説明できないので、下記HPを参照）
http://www.jod.or.jp/JOD-reports/kyouikureport-2.htm

３つのものを混ぜたとき、この方法が使えないのではと思い、証明したいのですが、行き詰ってしまいました。
例えば、８％(xg)、５％(yg)、３％(zg)を混ぜて、６％の溶液をつくるとき、たすきがけで計算すると、答えはx：y：z＝３：１：２=(8-5):(6-5)：(8-6)になります。
実際に解こうとすると、溶質の量は同じなので、
0.08x+0.05y+0.03z=0.06(x+y+z)
0.02x-0.01y-0.03z=0
この式にたすきがけの比率を入れると、右辺左辺があわないので、このたすきがけの方法が３つの溶液の場合、成立しないのではと思うのですが、その理由、もしくは証明の仕方がよくわかりません。
お手数をおかけしますが、どうか教えてください。

回答No.4

arrysthmia · ベストアンサー

「たすき掛け」が何をやっているのか、確認しましょう。
混合の前後で、溶質（食塩）の総量が変わらないことから、
A x + B y = C (x + y) が成り立ちます。
式を移項・整理して、(A - C) x = (C - B) y。
内項外項の積の関係から、x : y = (C - B) : (A - C)。
参照先の説明にある「右上隅」が (C - B)、「右下隅」が (A - C) です。
「たすき掛け」は、答えの式 x : y = (C - B) : (A - C) を暗記する方法
という訳です。

三溶液の混合で同じことを行おうとしても、
0.08 x + 0.05 y + 0.03 z = 0.06 (x + y + z) だけからは、
x : y : z の比は、ひとつに決まりません。
せめて、x ： y ： z = (0.08 -0.05) : (0.06 - 0.05) ： (0.08 - 0.06) が
0.08 x + 0.05 y + 0.03 z = 0.06 (x + y + z) を満たすのなら、
必要性は欠くけれど十分解のひとつを与える解法として使うこともできますが、
残念ながら、そうはなりません。

A x + B y + C z = D (x + y + z) に
x = (A - B) s, y = (D - B) s, z = (A - D) s を代入してみれば、
これが s の恒等式として成立しないことから、ダメであることが判ります。

そもそも、x : y : z = (A - B) : (D - B) : (A - D) …？ を
何処から思いついたのでしょうか。この式に C が入っていないことから
変だと気付きませんでしたか？

お礼

丁寧に教えていただいてありがとうございました。

補足

すみません。
あわてて書いたので、例の部分の計算式が違っていました。
x：y：z＝３：１：２=(6-3):(6-5)：(8-6)
D-C,D-B,A-Dでした。

回答No.3

debukuro

例題は溶液を水で薄めるときに使います
しかも出来上がりの量にはこだわっていません

回答No.2

pascal3141

質問の場合、食塩水の量が入っていないので、混ぜ方は無数の解があり答えは出ません。たとえば、最初８％(xg)、５％(yg)を混ぜると、x,yは決まっていませんので、６％以上の濃さの食塩水は、たすきがけであろうと無かろうと、６％～８％までの任意の濃さの食塩水ができてしまいます。その食塩水に３％(zg)を混ぜて６％にするのですが、最初の食塩水の濃さが任意なので、答えも無数に出るわけです。
３つの変数がある場合は、もう少し条件が必要です。

回答No.1

Cupper

連立方程式で、３つの項目の解を求める場合
各項目を全て使った方程式と、２つだけ使った方程式が必要です

ですので、質問の場合には z の溶液の量をあらかじめ決めてしまうなどの処置が必要です