ベクトル解析入門（発散）
ベクトル解析入門（発散）
（ベクトル解析入門（東大出版）の本文ｐ１２５）
ベクトル場Ｖ＝（u,v)が与えられたとする。
添付画像のようなある点（ｘ、ｙ）を中心とする、１辺ｈの正方形Ｑｈを考える。
正方形から単位時間当たりどれだけの水があふれ出るのかを計算したい。
正方形の各辺での単位法線ベクトルをｎとし、この正方形から単位時間当たりに流れ出る水の流出量をＡ（ｘ,y;h)とすると、
Ａ（ｘ,y;h)＝∫（∂Ｑｈ）(Ｖ内積ｎ)ｄｓ＝Ａ１＋Ａ２＋Ａ３＋Ａ４
Ａ１＝∫（－h/2→h/2)u(x+h/2,y+s)ds
A2=∫（－h/2→h/2)v(x+s,y+h/2)ds
A3=-∫（－h/2→h/2)u(x-h/2,y+s)ds
A4=-∫（－h/2→h/2)v(x+s,y-h/2)ds
ただし、∂Ｑｈは正方形Ｑｈの境界を表し、Ａ１，A2,A3,A4は正方形の右辺、上辺、左辺、下辺を通って単位時間当たりに流出する水の量を表す。
Ａ１について上のことを確認しよう。
右辺において正方形外向きの単位法線ベクトルｎはｎ＝（１，０）である。
ゆえに、右辺上の点(x+h/2,y+s)（ただし、-h/2<s<h/2)での単位時間当たりの水の流出量はＶ内積ｎ＝u(x+h/2,y+s)
(疑問）
(1)まず、Ｖ＝（u,v)です。教科書にはこれが何かが書かれていないのですが、定ベクトル場と考えてよいのでしょうか？
(2)正方形の単位時間当たりの水の流出量を計算するとしておきながら正方形の各辺についてのみ調べているのはなぜでしょうか？
(3)Ｖ内積ｎ＝u(x+h/2,y+s)はuとなるのではないのですか？（そもそも内積がスカラーでない時点でおかしい）
Ａ１＝∫（－h/2→h/2)u(x+h/2,y+s)dsというのはどのような意味があるのでしょうか?
（どのように考えているのでしょうか？）
（ベクトル解析入門（東大出版）の本文ｐ１２５）
ベクトル場Ｖ＝（u,v)が与えられたとする。
添付画像のようなある点（ｘ、ｙ）を中心とする、１辺ｈの正方形Ｑｈを考える。
正方形から単位時間当たりどれだけの水があふれ出るのかを計算したい。
正方形の各辺での単位法線ベクトルをｎとし、この正方形から単位時間当たりに流れ出る水の流出量をＡ（ｘ,y;h)とすると、
Ａ（ｘ,y;h)＝∫（∂Ｑｈ）(Ｖ内積ｎ)ｄｓ＝Ａ１＋Ａ２＋Ａ３＋Ａ４
Ａ１＝∫（－h/2→h/2)u(x+h/2,y+s)ds
A2=∫（－h/2→h/2)v(x+s,y+h/2)ds
A3=-∫（－h/2→h/2)u(x-h/2,y+s)ds
A4=-∫（－h/2→h/2)v(x+s,y-h/2)ds
ただし、∂Ｑｈは正方形Ｑｈの境界を表し、Ａ１，A2,A3,A4は正方形の右辺、上辺、左辺、下辺を通って単位時間当たりに流出する水の量を表す。
Ａ１について上のことを確認しよう。
右辺において正方形外向きの単位法線ベクトルｎはｎ＝（１，０）である。
ゆえに、右辺上の点(x+h/2,y+s)（ただし、-h/2<s<h/2)での単位時間当たりの水の流出量はＶ内積ｎ＝u(x+h/2,y+s)
(疑問）
(1)まず、Ｖ＝（u,v)です。教科書にはこれが何かが書かれていないのですが、定ベクトル場と考えてよいのでしょうか？
(2)正方形の単位時間当たりの水の流出量を計算するとしておきながら正方形の各辺についてのみ調べているのはなぜでしょうか？
(3)Ｖ内積ｎ＝u(x+h/2,y+s)はuとなるのではないのですか？（そもそも内積がスカラーでない時点でおかしい）
Ａ１＝∫（－h/2→h/2)u(x+h/2,y+s)dsというのはどのような意味があるのでしょうか?
（どのように考えているのでしょうか？）
お礼
ご回答ありがとうございます。 単純な計算式なのでしょうが、非常に勉強になります。 早速、役にたちそうです。