以下の問題の解答・解説を教えてください。

質問

2次関数　ｙ＝ｘ2乗＋2kx＋4kの最小値をmとする。（但しkは定数とする）
(1)mをkの式で表しなさい
(2)kの関数mの最大値と、最大値をとるkの値を定めなさい

回答者さんがくどいと思うくらい、丁寧すぎると思うくらいの回答を歓迎いたします。

御回答よろしくお願いいたします。

回答No.1

sanmatotama · ベストアンサー

丁寧過ぎるという自信はありませんが、回答いたします。
x2乗をx^2と書かせて頂きます。
（１）まず、y=x^2+2kx+4k を平方完成させます。
y=(x^2+2kx)+4k
=(x^2+2kx+k^2)+4k-k^2 (括弧の中にk^2を足して、括弧の外からk^2を引きます)
=(x+k)^2+4k-k^2
これよりm=4k-k^2となります。なぜかと言いますと、
y=x^2の時、最小値は0です。 y=(x+k)^2の時も、最小値は0です(yが0となるxの値が-kになります)。
y=x^2+1の時、最小値は1です。y=x^2+4k-k^2の時は、最小値は4k-k^2です。
よって、y=(x+k)^2+4k-k^2の最小値m=4k-k^2です。
また、x+kは2乗すれば必ず＋になりますから、最小値は(x+k)^2が0の時で、m=4k-k^2といえます。

（２）m=-k^2+4kを（１）と同じように平方完成させます。
y=-(k^2-4k) (－でくくります)
=-(k^2-4k+4)+4 (括弧の中に4を足して、括弧の外に4を足します)
=-(k-2)^2+4
(k-2)^2は必ず＋になりますから、-(k-2)^2は必ず－になります。
よって、最大値はk-2=0となる時に、4となります。
つまり、kの関数mの最大値は4で、最大値をとるkの値はk=2です。

お役に立てましたでしょうか？

お礼

御回答ありがとうございます。
とても丁寧でわかりやすく、役に立ちました。

ありがとうございました。