数学 二次関数のグラフ

質問

aは定数とする。
二次関数y=x²+4x+1 (a≦x≦a+2)の最小値を求めよ。
っていう問題を分かりやすく教えてくださいm(_ _)m

回答No.2

Willyt

最小値は a の値によって代わりますから、a の値を分割して考える必要があります。
y=(x+2)^2 - 3 と変形できますから、このグラフは底が(-2,-3) で上に開いた放物線になります。この放物線の底が a で指定される範囲内にあるなら最小値は -3 となります。底がその範囲にある為には　-4≦a≦-2 でなければならないので、まず a がこの範囲にあるときの最小値はＸが底になる値のときに起きます。その最小値は　-3 となります。
次に a<-4 の場合に指定される範囲は単調減少の部分ですから最小値は ｘの最大値 a+2のときにｙが最小となります。その最小値=(a+2)^2+4(a+2)+1= a^2+8a+9 となります。
最後に a>-2 で指定される範囲は単調増大の範囲ですから最大値は　X=a のときの　ｙの値になりますからその最小値＝a^2+4a+1 となります。

回答No.1

info222_

y=x²+4x+1
のグラフは式を平方完成すると
y=(x+2)^2-3
であるから頂点(-2, -3)の下に凸のグラフになる。
xの範囲a≦x≦a+2は幅2の範囲でaの値を増加させるとその分だけxの範囲が左から右に移動していくから、ｙのグラフの対称軸x=-2に注目してaで3通りに場合わけしてyの最小値を求めればよいでしょう。
答は以下のようになります。
a+2<-2 すなわち a<-4の場合　x=a+2のときyは最小値y=(a+4)^2-3=a^2+8a+13をとる。
a≦-2≦a+2 すなわち -4≦a≦-2の場合　x=-2のときyは最小値y=-3をとる。
-2<a すなわち a>-2 の場合　x=aのときyは最小値y=(a+2)^2-3=a^2+4a+1をとる。