部分分数の分解の仕方

質問

1/(k+a)(k+b)を部分分数に分解するには
1/(b-a)*(k+b)-(k+a)/(k+a)(k+b)
1/b-a（1/k+a-1/k+b)

となるようなのですが
どのように考えたらよいのかがわからないです

よろしくお願いいたします。

回答No.3

178-tall

手抜きペーストによる < 錯誤個所 > 訂正。

もし k も定数ならば、< a' = k+a, b' = k+b > として、(*), (**) の A, B を使い、
　A' = A + t*a'
　B' = B - t*b'
(t は任意の整数) とすれば、
　1/{(k+a)(k+b)} = A'/(k+a) + B'/(k+b)
が成立つ。

お礼

わかりました。
ありがとうございます。

回答No.2

178-tall

1/{(k+a)(k+b)} = A/(k+a) + B/(k+b)
と、未定係数 A, B を想定して勘定する手がふつう。

a, b は定数、x は変数として、
　1/{(x+a)(x+b)} = A/(x+a) + B/(x+b)
の分解を考えるのがふつう。
この場合なら、両辺に (x+a) を掛け x→ -a として、、
　1/(b-a) = A　　　…(*)
また、両辺に (x+b) を掛け x→ -b として、
　1/(a-b) = B　　　…(**)
などとして、分解する。

もし k も定数ならば、a' = x+a, b' = x+b として、(*), (**) の A, B を使い、
　A' = A + t*a'
　B' = B - t*b'
(t は任意の整数) とすれば、
　1/{(k+a)(k+b)} = A'/(k+a) + B'/(k+b)
が成立つ。
(試算してみて)

お礼

ありがとうございます。

回答No.1

karamarimo

難しい式変形をしなくても、もっと簡単な方法があります。

1/(k+a)(k+b) = ~*(1/(k+a)-1/(k+b)) の形になるとして、
「~」に入るものを考えると、
そもそも 1/(k+a)-1/(k+b)=((k+b)-(k+a))/(k+a)(k+b)
=(b-a)/(k+a)(k+b) だから
分子の b-a を打ち消すために
「~」には 1/(b-a) が入ります。

お礼

ありがとうございます。