→０と→（１／∞）は同じ意味ですか

質問

二つは全く同じ意味なのか、あるいは別なのか、また実用的にどちらを使ったほうが便利とかそういうことも含めてご教示いただければ幸いです。

回答No.3

アウストラロ ピテクス（@ngkdddjkk）

無限大と言う事自体がlimをとっているので、No.1さんの言う通り定義して使わないといけない。
→(1/∞)は二重に極限を施しているようなもので、通常、世間一般には→0しか使われません。

→(lim[t→∞] 1/t)と書いてみればわかる。元の変数がxなら、x→1/tのような変数変換を行い、t→∞の極限を取ることになる。
質問者は∞が特定の数では無い事を理解して質問されてますか？

0=1/∞となるかは議論を呼んでしまいます。ですので、lim[t→∞] 1/t=0のように書くはずです。
0=1/∞を日本語にすると「1を∞で割ったら0になる」となり、∞が特定の数ではないということから等号で結ぶのはおかしい。
これを整合あるものにするには、lim[t→∞] 1/t=0を日本語にした「1/tのtを限りなく大きな数(∞)に近づけていくと、その極限値が0になる」とするべきです。

どちらにせよ、「ある特定の値」を表すのに∞を導入するのはあまりよろしくないかと思います。

お礼

ほかの方のご教示と合わせて勉強させていただきます。ご教示感謝いたします。私にはベストアンサーを決める力がありませんし、回答くださった方へ全く同じ敬意と感謝の念を抱いておりますので、この欄をお借りして改めて皆様にお礼申し上げます。

回答No.2

bgm38489

→＋０と→－０があるのご存知ですか。

これは、1/0を考えるとき用いられます。lim（x→0）1/xの場合、ｘが正の値から０に近づけば、＋∞となりますね。対して、負の値から０に近づけば－∞となります。これを、答えを一つに絞る場合は、前者をｘ→＋０、後者をｘ→－０と表すわけです。

この考えでいけば、ｘ→（1/∞）は正の値から０に近づくということで、ｘ→＋０と同じようになりますね。正の値から０に近づく、ということと、正の値から０に近づくものに近づく（？）ということは違うかも知れませんが。

いずれにせよ、ｘ→０では、正の値から近づく場合と負の値から近づく場合を考えるので、違うものとなります。

お礼

正負の区別を考えていませんでした。改めて勉強させていただきます。ご教示ありがとうございます。

回答No.1

alice_44

通常の文脈では、1/∞ は未定義な式ですから、
それを含む →(1/∞) も、無意味な表記です。
この表記に意味を持たせるためには、定義を明示
しなければなりません。

例えば、「数」の範囲に ∞ を含めることとし、
1/∞ の値を 0 と定義する。
または、1/∞ をおおらかに lim[t→∞] 1/t
の略記とみなすこととする。
いづれの場合も、1/∞ の値が 0 になるので、
→(1/∞) と →0 は同じです。→(3-3) でも同じ。

ちょっと違うアプローチとして、
x→(1/∞) を x=1/t, t→∞ の意味と定義する
方法もあるかもしれません。その場合、
t→∞ は t→+∞ の意味でしょうから、
x→(1/∞) は x→+0 と同義となって、
x→0 とは少し違うことになります。

あるいは、t→∞ が t→±∞ と同義であるように
+∞ と -∞ が同じになる位相を定義して、
その上での極限を考える。

あるいは…

キリがありません。→(1/∞) をどう定義するか
次第の話です。

お礼

勉強させていただきます。ご教示ありがとうございます。