三重積分についての質問です。

質問

∬∫ydxdydz　　　U: x>=0, y>=0, z>=0, x+y+z<=1
はどのような範囲で、どのような計算で導かれるのでしょうか。
ご指導よろしくお願いします。

回答No.5

stomachman

質問者さんが困りそうな状況になってる気がするなあ。
　でも丸投げの丸写しになったんでは意味がないんで、一体何がどうなってるのか、ゆっくり進めてみましょう。ご質問の積分
　　J = ∫∫∫[(x,y,z)∈A] y dx dy dz
において、積分する領域Aは
　　A = {(x,y,z) | x≧0, y≧0, z≧0, x+y+z≦1}
ですね。これを
　　A = {(x,y,z) | x≧0, z≧0, x+z≦1} ∩ {(x,y,z) | 0≦y≦1-x-z}
と、ふたつの領域の共通部分として捉えることにします。この右辺の２つ目の領域に注目すると、(x,z)を具体的に決めれば、yの範囲が具体的に決まる。つまりこれは「各(x,z)について、yの範囲を表したもの」と読めるでしょう。
　そこで、ある勝手な(x,z)における、被積分関数yのyに関する積分を考えれば、積分範囲は各(x,z)について決まり、
　　f(x,z) = ∫[0,1-x-z] y dy
ということになる。当然これは(x,z)の各点で何か実数値を持つ2変数関数になり、実際、計算すると
　　f(x,z)= ((1-x-z)^2)/2
です。
　これでyの話は片づいて、ご質問の積分は
　　J = ∫∫[(x,z)∈B] f(x,z) dx dz
という二重積分になった。ただし積分する領域Bは、Aの右辺の一つ目の領域
　　B = {(x,z) | x≧0, z≧0, x+z≦1}
です。
　次にこの領域Bを
　　B = {(x,z) | 0≦x≦1} ∩ {(x,z) |0≦z≦1-x}
と捉えることにして、右辺の２つ目の領域を「各xについて、zの範囲を表したもの」と読みます。
　そして、ある勝手なxにおける、被積分関数f(x,z)のzに関する積分を考えると、積分範囲は各xについて決まるんですから、
　　g(x) = ∫[0,1-x] f(x,z) dz
です。もちろんこれはxの各点で何か実数値を持つ1変数関数になる。
　これでzの話も終わって、かくてご質問の積分は
　　J = ∫[x∈C] g(x) dx
となりました。このとき、積分する領域Cは
　　C = { x | 0≦x≦1}
ですから、つまり、
　　J = ∫[0,1] g(x) dx
ということ。これを計算すればおしまいです。

回答No.4

alice_44

√(1-x-y) が出てくる理由が無いからね。

回答No.3

noname#171582

おいおい、答えが違うじゃないか。
ありゃ。

回答No.2

alice_44

U = { (x,y,z) | 0≦y≦1 かつ 0≦z≦1-y かつ 0≦x≦1-y-z }
とも書けるので、

重積分を累次積分に変換して、
∫∫∫[U] y dxdydz
= ∫[0≦y≦1] ∫[0≦z≦1-y] ∫[0≦x≦1-y-z] y dxdzdy
= ∫[0≦y≦1] y ∫[0≦z≦1-y] ∫[0≦x≦1-y-z] dxdzdy
= ∫[0≦y≦1] y ∫[0≦z≦1-y] (1-y-z) dzdy
= ∫[0≦y≦1] y (1/2)(1-y)^2 dy
= (1/2) ∫[0≦y≦1] y(1-y)^2 dy
= (1/2) (1/12)
= 1/24
となります。

回答No.1

info22_

∬∫[U] ydxdydz
=∫[0,1] ydy∫[0,1-y] dx ∫[0,√(1-x-y)] dz
=∫[0,1] ydy∫[0,1-y] √(1-y-x) dx
=∫[0,1] ydy [-(2/3)(1-x-y)^(3/2)][0,1-y]
=∫[0,1] (2/3){(1-y)^(3/2)} ydy
=(2/3)∫[0,1] {(1-y)^(3/2)} ydy
=(2/3)∫[0,1] {(1-y)^(3/2)}{1-(1-y)}dy
=(2/3)∫[0,1] {(1-y)^(3/2) -(1-y)^(5/2)}dy
=(2/3)[-(2/5)(1-y)^(5/2)+(2/7)(1-y)^(7/2)] [0,1]
=8/105