ポアソンの積分公式に関する質問です

質問

Z平面の上半面(z=x+iy,y>0)でラプラスの方程式を満たし、実軸上(y=0)で
U(x,0)=1(x≧0),0(x<0)
を満たすU(x,y)を求めよという問題で、
U(x,y)=y/π×integral(0,∞)((ξ-x)^2+y^2)dξ=1-1/π×atan(y/x)
となるそうなのですが、解の第二項目は出てくるのですが、初めの1がでる理由が
いまいちわかりません。計算していくと[atan(t)](0,-y/x)の定積分に変換できると思うのですが
atan(0)=0なので、どうして項が残るのか理解できないで困っています。どなたかわかりやすく
教えていただけないでしょうか？

回答No.2

ereserve67

ANo.1です．もう少し詳しく解説しましょう．

U(x,y)=(1/π)∫_0^∞[y/{(ξ-x)^2+y^2)}]dξ

Heaviside関数をθ(x)=1(x>0),0(x<0)とします．

(1)ｙ>0のとき

U=(1/π)∫_{-x/y}^∞[1/{(ξ-x)/y}^2+1)}]d{(ξ-x)/y}

=(1/π)∫_{-x/y}^∞{1/(ｔ^2+1)}dt

=(1/π)[Arctan(t)]_{-x/y}^∞=(1/π){π/2-Arctan(-x/y)}

=1/2+(1/π)Arctan(x/y)

(2)y<0のとき

U=-(1/π)∫_{x/y}^{∞}[1/{(ξ-x)/(-y)}^2+1)}]d{(ξ-x)/(-y)}

=-(1/π)∫_{x/y}^{∞}{1/(ｔ^2+1)}dt

=-(1/π)[Arctan(t)]_{x/y}^{∞}=-(1/π){π/2-Arctan(x/y)}

=-1/2+(1/π)Arctan(x/y)

sgn(y)をyの符号とすると，sgn(y)=1(y>0),-1(y<0)で

（☆）U(x,y)=sgn(y)(1/2)+(1/π)Arctan(x/y)

以下y>0として，☆を書き変えましょう．

x>0ならx/y>0,y/x>0だから

Arctan(x/y)=π/2-Arctan(y/x)

となりますが，x<0ならx/y<0,y/x<0だから

Arctan(-x/y)=π/2-Arctan(-y/x)
⇔Arctan(x/y)=-π/2-Arctan(y/x)

となります．すなわちy>0のとき

Arctan(x/y)={θ(x)-1/2}π-Arctan(y/x)

となりますから，y>0のときの☆は

U(x,y)=1/2+(1/π)[{θ(x)-1/2}π-Arctan(y/x)]

U(x,y)=θ(x)-(1/π)Arctan(y/x) (y>0)

となります．「初めの1は」θ(x)になるはずです．こうならば，境界条件

U(x,+0)=θ(x)

も満たすことができます．

回答No.1

ereserve67

U(x,y)の積分表示を

U(x,y)=(y/π)∫_0^∞[1/{(ξ-x)^2+y^2)}]dξ

=(1/π)∫_0^∞[y/{(ξ-x)^2+y^2)}]dξ

とします．（被積分関数は逆数でなくては収束しません）

掲載の計算はよくわかりませんが（atanはarctan？）以下のようにするとできます．

被積分関数を(1)y>0と(2)y<0に場合分けします．

(1)ｙ>0のとき

U=(1/π)∫_0^∞[1/{(ξ-x)/y}^2+1)}]d{(ξ-x)/y}

=(1/π)∫_{-x/y}^∞{1/(ｔ^2+1)}dt

=(1/π)[Arctan(t)]_{-x/y}^∞=(1/π){π/2-Arctan(-x/y)}

=1/2+(1/π)Arctan(x/y)}

(2)y<0のとき

U=-(1/π)∫_0^{∞}[1/{(ξ-x)/(-y)}^2+1)}]d{(ξ-x)/(-y)}

=-(1/π)∫_{x/y}^{∞}{1/(ｔ^2+1)}dt

=-(1/π)[Arctan(t)]_{x/y}^{∞}=-(1/π){π/2-Arctan(x/y)}

=-1/2+(1/π)Arctan(x/y)

sgn(y)をyの符号とすると，

U(x,y)=sgn(y)(1/2)+(1/π)Arctan(x/y)

こうなるのではないでしょうか．これはy>0でLaplace方程式を満たしますし，y→+0とすると

sgn(y)=1
(1/π)Arctan(x/y)→1/2(x>0),-1/2(x<0)

∴U(x,+0)=1/2+1/2=1(x>0),1/2-1/2=0(x<0)

すなわち

U(x,+0)=θ(x)(Heaviside関数)

となります．(x=0では未定義とします)