扇形の長さ。

質問

扇形の弧の長さと弦の長さの解き方を教えてください。
半径40、弦の長さ10から弧の長さは求める事が出来るでしょうか？
また逆に弧の答えから弦を求める公式も出来ましたらお願いいたします。

回答No.1

asuncion · ベストアンサー

＞半径40、弦の長さ10から弧の長さは求める事が出来るでしょうか？

実際に図形を描いてみると、
半径と、弦の長さ（の半分）から、
その扇形の中心角（の半分）が求まると思います。
中心角と半径がわかれば、弧の長さはわかりますね。

弧の長さと半径がわかっている場合も、中心角を求めるようにすれば、
弦の長さはわかるはずです。

公式化するのは、ご自分でチャレンジしてみてはどうでしょうか。

お礼

回答有り難うございました。
合同な直角三角形に分けて中心角を出すわけですね。
分かりやすく説明いただきありがとうございました♪

回答No.2

kagakusuki

今仮に、扇形の半径をR、弧の長さをA、弦の長さをC、中心角をθとおきます。又、使用する角度の単位は度ではなく、ラジアンとします。
　その場合

θ＝A/R・・・・(1)

及び

sin(θ/2)＝(C/2)÷R＝C/(2R)・・・・(2)

が成り立ちます。

　そして式(2)より

C＝2R・sin(θ/2)・・・・(2')

が成り立ちますので、式(1)を式(2')に代入しますと

C＝2R・sin(θ/2)＝2R・sin{A/(2R)}・・・・(3)　　[弧の長さと半径から弦の長さを求める公式]

となります。
　又、式(2)より

θ＝arcsin{C/(2R)}・・・・(4)

が成り立ちます。
　※arcsin：逆正弦関数
　　【参考URL】
　　　三角関数 - Wikipedia > 8 逆三角関数
　　　　http://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%89%E8%A7%92%E9%96%A2%E6%95%B0#.E9.80.86.E4.B8.89.E8.A7.92.E9.96.A2.E6.95.B0

　　　PC版数学ナビゲーション > カテゴリー分類 > 三角関数 > アークサイン
　　　　http://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/category/sankakukansuu/henkan-tex.cgi?target=/math/category/sankakukansuu/arcsin.html

ここで、式(1)を式(4)に代入しますと

A/R＝arcsin{C/(2R)}

A＝R・arcsin{C/(2R)}・・・・(5)　　[弦の長さと半径から弧の長さを求める公式]

が成り立ちます。

　因みに、逆正弦関数はパソコンのExcelソフトのASIN関数を使用して求める事が出来ます。

お礼

途中過程など詳しく説明いただき有り難うございました。