積分のやり方についてです

質問

∫(y^2+1)^1/2 dy
はどのような計算方法になるのでしょうか。
ご指導の程宜しくお願いします。

回答No.3

alice_44

ベストアンサーは、毎度の如く info22 へいくとしても、
被積分関数が √(二次式) を含む場合の標準的な手技は、
一度まとめて理解しておくほうがいい。何かのときに、役に立つから。

回答No.2

info22_

d{y(y^2+1)^(1/2)}/dy=(y^2+1)^(1/2) +y^2/(y^2+1)^(1/2) より

(y^2+1)^(1/2)=d{y(y^2+1)^(1/2)}/dy -y^2/(y^2+1)^(1/2)
　=d{y(y^2+1)^(1/2)}/dy -(1+y^2)/(y^2+1)^(1/2) +1/(y^2+1)^(1/2)
　=d{y(y^2+1)^(1/2)}/dy -(1+y^2)^(1/2) +1/(y^2+1)^(1/2)

2(y^2+1)^(1/2)=d{y(y^2+1)^(1/2)}/dy+1/(y^2+1)^(1/2)
(y^2+1)^(1/2)=(1/2)d{y(y^2+1)^(1/2)}/dy+(1/2)/(y^2+1)^(1/2)

積分して
∫(y^2+1)^(1/2)dy=(1/2)y(y^2+1)^(1/2)+(1/2)∫dy/(y^2+1)^(1/2)

公式　∫dy/(y^2+1)^(1/2)=sinh^(-1)(y)より

∫(y^2+1)^(1/2)dy=(1/2)y(y^2+1)^(1/2) +(1/2)sinh^(-1)(y) +C

回答No.1

alice_44

よくある例題で、やり方はゴマンとある。
比較的簡単なのは、

{ y = sinh z で置換して }
∫ √(y^2 + 1) dy = ∫ cosh z (cosh z dz)
= ∫ (1/2)(1 + cosh 2z) dz
= (1/2)z + (1/4)(sinh 2z) + (積分定数)
= (1/2)z + (1/2)(sinh z)(cosh z) + (積分定数)
= (1/2)(sinh^-1 y) + (1/2)y√(y^2 + 1) + (積分定数)

{ y = tan z で置換して }
∫ √(y^2 + 1) dy = ∫ 1/|cos z| (1/(cos z)^2 dz)
= ∫ 1/(cos z)^4 (cos z dz)
{ 再度 w = sin z で置換して }
= ∫ 1/(1 - w^2)^2 dw
= ∫ (1/4){ 1/(w+1) + 1/(w+1)^2 + 1/(1-w) + 1/(w-1)^2 } dw
= (1/4){ log(w+1) - 1/(w+1) - log(1-w) - 1/(w-1) } + (積分定数)
= (1/4)log( (1+w)/(1-w) ) + (1/2)w/(1-w^2) + (積分定数)
{ w を y に戻せば、上記と同じになる }