数学の問題について解答お願いします

質問

dx/dt=v
dv/dt=(1/τ)*(-(x-x_0)/τ-2v)
において、
初期条件x(0)=7,v(0)=0が与えられたとき、τ=0.08およびx_0=4についてこれらの方程式の正確な解を、求めてほしいです。
なお、この方程式を単一の２階微分方程式に変換してください。

回答No.1

alice_44 · ベストアンサー

問題の方程式は、
x - x_0 = y
t/τ = s
dy/ds = u
で置換すると
u = τv
du/ds = - y - 2u
と書き換えられますから、
(d/ds)^2 y + 2(d/ds)y + y = 0 ←[*]
を解けばいいですね。

初期条件は、
y(0) = 7 - x_0
u(0) = 0
です。

[*]の一般解が y = (A+Bs)e^(-s) であること
は有名なので、定係数斉次線形微分方程式の解法を
教科書でよく確認のこと。

一般解を初期条件へ代入して
A + B = 7 - x_0
B - A = 0
なので、
A = B = (1/2)(7 - x_0)
と判ります。

各定数を代入すると、結局
x = x_0 + (1/2)(7 - x_0)(1 + t/τ)e^(-t/τ)
= 4 + (3/2)(1 + t/0.08)e^(-t/0.08)
となります。