下記の問題、解き方、解答詳細教えて下さい

質問

一階の線形偏微分方程式
5Ｕx+2Ｕy=0を
初期条件u(x,0)=-3exp(4x)
のもとで解け

回答No.1

alice_44 · ベストアンサー

x = 5s,
y = 2s+t　と置くと、
(x,y) と (s,t) 間の変換は正則であり、
合成関数の微分則により
∂u(x,y)/∂s = (∂u/∂x)(∂x/∂s)+(∂u/∂y)(∂y/∂s)
.　　　　　　= 5Ux+2Uy
.　　　　　　= 0
が成り立つ。

これは、u(x,y) が s について定数ということだが、
s = (x-2y)/3,
t = (5/3)y　なので、
x-2y = X-2Y のとき u(x,y) = u(X,Y) となる。

Y = 0 のとき X = x-2y だから、
u(x,y) = u(x-2y,0) = -3 exp( 4(x-2y) ).

これ、昔は、高校物理の教科書に載ってたんだけどな。

回答No.2

alice_44

あれ御免、違うじゃん。
我ながら馬鹿だねえ。
∂u(x,y)/∂s = 0 だから、逆に、s こそ変わっても影響しない。
t 一定で s だけ変化させて (X,0)→(x,y) と移動するように、
t = y-(2/5)x より 0-(2/5)X = y-(2/5)x なら u が変わらない。
u(x,y) = u(X,0) = -3 exp(4X) = -3 exp( 4(x-(5/2)y) ).
いや、失礼した。