2007年 京都大学 第一問 (長文です)

質問

質問したいのは(３)なのですが、それ以前の問題も関係するので全て載せます

【問題】
図１のように、滑らかな面の上で静止している質量 m1 の物体１に向かって、質量 m2 の物体２を初速 v0 で打ち出した時、衝突によって物体１が受ける衝撃が、緩衝装置によってどのように弱められるかを考える。
物体の大きさは無視でき、運動は図の左右一方向のみとし、空気抵抗や面からの摩擦力はないものとする。緩衝装置のモデルとして、図２のような３種類を考える。
モデル( a )は、ばね定数Ｋのばねである。モデル( b )では、自由に空気が出入りできる穴のあるピストンがシリンダー内を動き、シリンダーから一定の力Ｆを受けるものとする。モデル( c )では、穴のあるピストンが、油のつまったシリンダー内を動き、シリンダーに対する相対的な速さに定数Ｃの乗じた大きさの粘性力を受けるものとする。
衝突の間、これらの緩衝装置が縮みきってしまうことはないとする。以下、緩衝装置の質量 m' は m1 および m2 に比べて十分小さいものとし、力、速度、加速度などのベクトル量は、図の右方向を正として表す。

(１)
緩衝装置の右端と左端がそれぞれ物体１と物体２におよぼす力を f1, f2 とする。まず、緩衝装置の全質量 m' が m1, m2 に比べて十分に小さい時は、 f1 + f2 = 0 としてよいことを確認しておこう。
[　作用反作用　]の法則により。緩衝装置が物体１と物体２から受ける力はそれぞれ -f1, -f2 である。よって、緩衝装置が受ける外力の和は -f1-f2 であり、それは緩衝装置の重心の加速度に[　m　]をかけたものに等しい。緩衝装置の重心の加速度は物体１や物体２の加速度と同程度の大きさであるので、 m' が m1 および m2 に比べて十分小さいとき、 f1 + f2　は f1 および f2 に比べて無視してよいのである。
(２)
次に、物体１と物体２の相対運動について考える。
(１)で確認したことにより、物体１と物体２の加速度を a1, a2 とし、 f1 を f とおくと、運動方程式はそれぞれ m1a1=f, m2a2=-f と書ける。この２つの式の両辺をそれぞれ m1, m2 で割り、それらの差をとると、 a1-a2=[　(m1+m2)f/m1m2　]となる。この式は a1-a2 が物体２に対する物体１の相対運動の加速度 a であることに注意すると、 ma=f という形に書ける。ここで、 m は換算質量と呼ばれ、 m1 と m2 により[　m1m2/(m1+m2)]と表される。すなわち、質量 m1 と m2 の２つの物体の相対運動は、質量が m の１つの物体の運動と同じ方程式にしたがう。
(３)
以上のことから、モデル( a )、( b )、( c )の各場合に物体１が受ける力を時間の関数としてグラフで示すと、それぞれ図３の{　オ　}、{　カ　}、{　キ　}となる。モデル( a )、( b )、( c )の各場合に、物体１が力を受けている時間はそれぞれ[　ク　]、[　ケ　]、無限大であり、力の最大値はそれぞれ[　コ　]、[　サ　]、[　シ　]である。
([　ク　]～[　シ　]は m を用いてもよい。必要ならば、物体が速度に比例し速度と逆向きの力を受ける場合、速度の絶対値は時間とともに指数関数的に減少することを用いよ。)

【解答】
[　オ　]　(4)
[　カ　]　(3)
[　キ　]　(2)
[　ク　]　π(√m/k)
[　ケ　]　mv0/F
[　コ　]　(√Ｋm)v0
[　サ　]　Ｆ
[　シ　]　Ｃv0

(３)が全てお手上げです…
どなたか易しく教えて下さい。

画像が見にくかったら申し訳ありません。

回答No.1

yokkun831 · ベストアンサー

[オ]　相対運動はばねによる振動的なものになるから，力も三角関数の形になる。
[カ]　力 F = 一定。
[キ]　相対速度の絶対値が指数関数的に減少するから力も指数関数的に減少する。
[ク]
m1の位置x1，m2の位置x2とおくと相対変位は，X = x1 - x2。
相対運動の運動方程式
ma = K(X - L)　※Lはばねの自然長
これは単振動を表しており，その周期は
T = 2π√(m/K)
である。物体と緩衝装置が力を及ぼし合うのはちょうど半周期になるから
T/2 = π√(m/K)
[ケ]　求める時間tとすると，相対運動の運動量-力積関係から
mv0 = Ft
∴t = mv0/F

※相対運動の運動量-力積関係の証明
ma = -F
相対速度がゼロになった時点で力もゼロになるから，それまでの運動量-力積関係は
0 - mv0 = -Ft
すなわち
mv0 = Ft
または，２体に分けた運動量-力積関係は最終速度vとすれば
m1v - m1v0 = -Ft
m2v - 0 = Ft
２式よりvを消去すれば
mv0 = Ft
を得る。

[コ]
ばねの最大縮みXとすると，相対運動のエネルギー保存により
mv0^2/2 = KX^2/2
最大力　F = KX　より，
mv0^2/2 = F^2/(2K)
∴F = √(Km)・v0

※エネルギー保存の証明
最大力のときばねは最も縮んでおり，２体の相対速度はゼロになる。すなわち２体はその瞬間にともに重心速度
V = (m1v1 + m2v2)/(m1+m2) = m1v0/(m1+m2)
に等しい速度をもつ（途中運動量保存を用いた）。
エネルギー保存は，
KX^2/2 + 1/2・(m1+m2)V^2 = 1/2・m2v0^2
整理すると
KX^2/2 = mv0^2/2
を得る。

[サ]　力F=一定だから，最大値F。
[シ]　最大力は相対速度の最も大きい接触直後である。そのときの相対速度v0だからCv0。

お礼

長い問題を読んで頂き、また易しい解説をして下さりありがとうございます

グラフを選ぶ問題でついあれこれ考えてしまっていたのですが
形だけを考えるのだから細かい数値は出さなくて良いのだな、と気付かせて頂きました

相対運動の運動量-力積関係の証明、エネルギー保存の証明まで
非常に詳しく分かりやすかったです

本当にありがとうございました。

追記で
アインシュタインの石膏像、とても可愛いですね