関数y=cos2x-sinx〔０＜＝ｘ＜２〕の最大値は8/9で、最小値

質問

関数y=cos2x-sinx〔０＜＝ｘ＜２〕の最大値は8/9で、最小値は-2である。与えられた実数aに対して方程式cos2x-sinx=a〔０＜＝x＜２Π〕の解が４こ存在するのは＊＜a<＊のときである。＊の部分の解説がわかるかたおねがいします。回答は０＜a＜８/9です。

回答No.2

mister_moonlight · ベストアンサー

いずれにしても、置き換えが必要になる。

sinx＝t　とすると、｜t｜≦1　。条件式は、1-2t＾2-t＝a　と変形できる。

ここで先に説明しとくが、置き換えた時に、xとtの対応を考えなければならない。三角関数で、置き換えた時は、常に元の変数と置き換えた変数の対応関係に注意が必要。
例えば、sinx＝t＝1の時は、x＝π/2。sinx＝t＝0の時は、0、π　。sinx＝t＝1/2の時は、x＝π/6、5π/6。sinx＝t＝-1の時は、x＝3π/2、sinx＝t＝-1/2の時は、x＝7π/6、11π/6のようになる。
つまり、0≦x＜2πの時　t＝±1の時は、xとtの対応は1対1。それ以外では、xとtの対応は1対2となるから、題意を満たすには、tが　｜t｜＜1の範囲に異なる2個の実数解を持つと良い。

y＝1-2t＾2-t＝aとして、グラフを考えよう。
y＝1-2t＾2-tと　y＝a　(x軸に平行な直線)を｜t｜＜1で考えると、(実際にグラフを書いてみる)　y＝1-2t＾2-tと　y＝a　が｜t｜＜1で異なる2つの交点を持つのは、0＜a＜9/8　であるのは、ほとんど自明。

回答No.1

alice_44

s = sin x と置くと、y = 1 - 2(sの2乗) - s です。
y = a に対応する s は、0 ～ 2 個と判ります。
s の変域は -1 ≦ s ≦ 1 であり、
s = ±1 に対しては各々 1 個、
-1 ＜ s ＜ 1 に対しては各々 2 個
の x が対応しますから、x が 4 個になる条件は、
s が -1 ＜ s ＜ 1 の範囲に 2 個になる条件と
同じです。
これで、二次方程式の解の分離問題になりました。
sy平面上にグラフを書いて、
放物線と直線の交点が -1 ＜ s ＜ 1 の範囲に 2 個
になるように、a の範囲を決めればよい。