数学が得意な方お願いします。

質問

この記号Πは数列の積のことです。
Π(p=1～Nまで)exp(-Ap(Dp-Cp)) |0>
=Π(p=1～Nまで)exp(-(1/2)*Ap^2)*exp(-Ap*Dp) |0>を証明できる方いますか？
ただしここでAp Dp Cpのpは全て添え字です。
またApは定数ですがDp Cpは演算子です。
更にCp |0>=0です。

私的にはexpをマクローリン展開していけばできるかと思ったのですができません。
よろしくお願いします。

また、不明な点があったら質問してください。

回答No.2

178-tall

>exp(Cp) |0> はもちろん1になります。　ですがだからといって、exp(Ap*Cp) |0>がexp(Ap)にはなりません。　なぜならexp(Ap*Cp)=exp(Ap)*exp(Cp)とはならないからです。　また、exp(Ap*Cp) |0>は１になると思います。

そもそも演算子の「規則」が不可解、なのです。
下記算式のうち、「規則」違反はどこと、どれ…？

・Cp |0> = Cp(0) = 0

・exp(Cp(0)) = exp(0) = 1
・exp(Ap*Cp(0)) = (exp(Cp(0)))^Ap = 1^Ap = 1

・exp(-Ap(Dp(0)-Cp(0))) = exp(-Ap*Dp(0))*exp(Ap*Cp(0))) = exp(-Ap*Dp(0))

回答No.1

178-tall

(演算子の「規則」しだい、みたい)

　exp(-Ap(Dp-Cp)) |0>
　= exp(-Ap*Dp)*exp(Ap*Cp)) |0>
ここで、
　exp(Cp) |0> =1
ならば、
　= exp(Ap)*exp(-Ap*Dp) |0>
と強弁できそうですが。

補足

exp(Cp) |0> はもちろん1になります。
ですがだからといって、exp(Ap*Cp) |0>がexp(Ap)にはなりません。
なぜならexp(Ap*Cp)=exp(Ap)*exp(Cp)とはならないからです。
また、exp(Ap*Cp) |0>は１になると思います。