ある数列。

質問

2と3と5の倍数でない数を7から順番に並べたような数列。初項a(1)=7。

7,11,13,17,19,23,29,31,37,…

これの一般項a(n)をnを使った式で表せますか。

ガウス記号、絶対値の記号、「余りを返す」「切り捨てる」「切り上げる」などプログラムで使いそうな演算子などを使わないで数学的な式として表現できますか。

できれば教えてください。

回答No.3

staratras

下の図は、1,2,3,4,5,6…を「ふるい」にかけて、問題の数列がどうなるかを調べたも
のです。2,3,5の最小公倍数である30をひとまとまりにして周期的になっていることを示してい
ます。

題意を満たすこの数列をAnとし、まず初項から第8項までをｎの式で表すことを考えま
す。力づくの計算で、もっと効率的な方法がありそうですが…

ｎ=1，2，3，4，5，6，7，8の整数値で常に０となるｎの８次式
(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)(n-5)(n-6)(n-7)(n-8)を考えます
ｎが１のときだけ0でなくしたい場合(n-1)を除くと(n-2)(n-3)(n-4)(n-5)(n-6)(n-7)(n
-8)となりｎ=1を代入すると上式の値は-5040となるので
（7/-5040）(n-2)(n-3)(n-4)(n-5)(n-6)(n-7)(n-8)とすればｎ=1のとき初項の7を表す
ことができ、ｎがそれ以外の2以上8までの整数値のときはすべて０となります。

以下同様にn=2のとき第2項の11を表す式は（11/720）(n-1)(n-3)(n-4)(n-5)(n-6)(n-7)
(n-8)です。
第3項を表す式は（13/-240）(n-1)(n-2)(n-4)(n-5)(n-6)(n-7)(n-8)
第4項を表す式は（17/144）(n-1)(n-2)(n-3)(n-5)(n-6)(n-7)(n-8)
第5項を表す式は（19/-144）(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)(n-6)(n-7)(n-8)
第6項を表す式は（23/240）(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)(n-5)(n-7)(n-8)
第7項を表す式は（29/-720）(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)(n-5)(n-6)(n-8)
第8項を表す式は（31/5040）(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)(n-5)(n-6)(n-7)

これらをまとめると（1≦ｎ≦8）
An=（7/-5040）(n-2)(n-3)(n-4)(n-5)(n-6)(n-7)(n-8)
+（11/720）(n-1)(n-3)(n-4)(n-5)(n-6)(n-7)(n-8)
+（13/-240）(n-1)(n-2)(n-4)(n-5)(n-6)(n-7)(n-8)
+（17/144）(n-1)(n-2)(n-3)(n-5)(n-6)(n-7)(n-8)
+（19/-144）(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)(n-6)(n-7)(n-8)
+（23/240）(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)(n-5)(n-7)(n-8)
+（29/-720）(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)(n-5)(n-6)(n-8)
+（31/5040）(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)(n-5)(n-6)(n-7)　…（１）

これを展開・整理すれば
An=(1/5040)（38n^7-1260n^6+17024n^5-120540n^4+478562n^3-1052520n^2+1182696n-46
8720)…（２）

ｎが9以上のときはｎを8で割った商をb余りをrとすれば
An=30b+Ar　となります。（ただしｒ=0のときはｂを１減じてr=8と読み替えるものとす
る）例：n=16のときb=2、ｒ=0をb=1、r=8と読み替えて、Ａ16=30・1＋Ａ8=30+31=61
ガウス記号や「余りを返す」などの表現を使えないのであれば、すべてを同一の式に表
すのは難しいですね。

そこで発想を変えて、問題の数列をAnではなく、A(8m+n)と表すことにします。mは負で
ない整数、nは1≦n≦8の整数です。

そうするとA(8m+n)=30m+An　と表記できます。
初項から第8項まではm=0の場合で、上記の（１）（２）そのものです。
それ以降の例えば第16項はm=1、n=8の場合でA(8*1+8)=30*1+A(8)=30+31=61

答え　A(8m+n)=30m+(1/5040)（38n^7-1260n^6+17024n^5-120540n^4+478562n^3-1052520n^2+1182696n-468720)　　ただしmは負でない整数、nは1≦n≦8の整数

回答No.2

tmppassenger

結局のところ、そこに書いてある通り第1項から第7項までは
7, 11, 13, 19, 23, 29, 31
となっていて、それ以降はこの7項の各々に30を毎回加えたものが繰り返されていく、という挙動になる。
従って、

『G(n) = 1 (nは7の倍数）、0(それ以外）という関数があれば』

例えば G(n+2) = 1 (nを7で割ったあまりが5)、0（それ以外）という風になるので、
a(n) = {7+(30/7)(n-1)} G(n+6) + {11 + (30/7)(n-2)} G(n+5) + {13 + (30/7)(n-3)} G(n+4) + {19 + (30/7)(n-4)} G(n+3) + {23 + (30/7)(n-5)} G(n+2) + {29 + (30/7)(n-6)} G(n+1) + {31 + (30/7)(n-7)} G(n)

というのが一つの答えとなる。 (30/7)というのはnが7進むごとに30増える、という調整のもの。

で問題は『』の部分であるが、例えば正弦関数(sin)を使ってよいのであれば作成出来る。というのも、Fermatの小定理から、

＊ 正整数nに対してn^6を7で割った余りは、 nが7の倍数でない時1、nが7の倍数の時0

である故、G(n) = { sin ( 2(n^6 - 1)π / 7 } / ( -sin(2π/7) ) というのが一つの例となる。

回答No.1

Higurashi777

素数であれば、下記リンクにある数式で「ｎ番目の素数」が求められます。
https://zenn.dev/kuroyei/articles/c408443395c89d
https://twitter.com/mathlava/status/1401490215454269444

ガウス記号を使わないのは無理ですね・・・

以上、ご参考まで。

補足

無理なことを証明できますか。