波動

質問

速さ1m/sで-x方向に進む波のt=0での様子が描かれている
以下の変位を求めよ
(1)x=3m、t=1s
(2)x=22m、t=11s

波動は苦手なので丁寧に教えていただけたら嬉しいです
回答お願いします！

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回答No.5

アウストラロ ピテクス（@ngkdddjkk） · ベストアンサー

2変数関数ではなく、媒介変数と捉えたほうがいいでしょう。

ωt-kx(t)=定数
両辺をtで微分すると
ω-kdx(t)/dt=0
ω=kdx(t)/dt
dx(t)/dt=ω/k

x(t)は位置を表す時間の関数となるので、その時間微分は物理的には速度v(t)を表します。
すなわち、
v(t)=dx(t)/dt

すると、式はv(t)=ω/kとなり、
問題で与えられている速度v(t)=-1[m/s]を代入して、
ω=-kとなる。
グラフからk=2π/λのλの値(波長)がわかるため、ωも求められる。

すると、-0.2sin[π(t+x)/2]という2変数関数で表されます。
波動は時間発展させた場合、波が動いて行く様がわかります。

ωt-kx(t)=定数
と置いたのは、t=0のときのある点の波動を時間発展させた場合、
どう動くかを表すものになります。わかりやすく言うと、波のある点にマークを入れ、
時間的に波が動いた場合(スライドして行くイメージ)の点を表すものになります。

上の式は速度を表す式としてあらわされるものであるので、高校生レベルでは微分せずに
ωt-kx(t)=0 (x=0,t=0の点)
としたときに
x/t=ω/k
として左辺が速度を表すとしてもいいですね。

微分をするのは大学生向けです。

お礼

とてもよくわかりました
媒介変数の微分はやったことがなかったので混乱してしまいました
回答ありがとうございました！

回答No.4

アウストラロ ピテクス（@ngkdddjkk）

速度が与えられるということは、位置の微分となっています。すなわち、xはtの関数です。波動なんで。

補足

二変数関数というやつですか？
どう微分するのでしょうか？

回答No.3

Quarks

ちょっと、泥臭い解き方を紹介します。

波とは、図のような
　"形"が移動するもの
と見ることもできます。つまり、図のような"形"が、1[m/s]で、x軸の負の方向に移動していくわけです。
以下では、この図形をｘ軸に沿って動かすことで、答を導いてみます。
するべきことは、
　図形を、この形を保ったまま、何[m]どちら向きにズラすべきかを考え、そのときの形を描く。
　求める変位ｙは、どのｘ座標位置での変位なのかを考える。
この２つです。

(1)
図は、ｔ＝０のときのものですから、ｔ＝１のときには、
　1[m/s]・１[s]＝１[m]
つまり、x軸の負の方向に１[m]だけずれているはずです。図に、その形を描き込んでみましょう。
　山の位置は、ｘ＝３[m]のところから、ｘ＝２[m]のところまでズレています。
　谷の位置は、ｘ＝１[m]のところから、ｘ＝０[m]のところまでズレています。
　右上がりにｘ軸を切っている位置は、ｘ＝２[m]のところから、ｘ＝１[m]のところにズレています。
　…
その、新たに描かれた図で、ｘ＝３[m] のところを見ると、ｘ軸を(右下がりに)切っているところですから　　ｙ＝…
となります。

(2)ｔ=１１[s]ですから、
　1[m/s]・１１[s]＝１１[m]
ズレています。では、図形を１１[m]負の方向にズラして…　イエイエ、そんなことをしなくても良いのです。図の形が、"ｘ軸方向の幅４[m]の範囲の形"の繰り返しになっていることに注目します。
つまり、４[m]ズレる（＝移動する）たびに、"問題の図の形とまったく同じ形"が再現するわけです。
　１１[m]＝(４[m]・２)＋３[m]
ですから、４[m]・２＝８[m]ズレても問題図と同じ形になるだけですから、その８[m]のズレは考える必要が無いわけで、残った端数の３[m]のズレだけを考えれば良いのです。１１[m]ずれた形とは、実質的には、３[m]ずれたときの形と全く同じなのです。ｘ軸の負の方向に３[m]ずれた図を描き込みましょう。
そして、ｘ＝２２[m]の位置の状態を調べれば良いのですが、ここでも、ちょっと工夫します。
波形は、幅が４[m]の部分の繰り返しになっているということは、ｘ座標が４だけ異なる地点での波形は、完全に一致しているということも意味しています（たとえば、ｘ＝0,4,8,12,…の地点でのｙは同じです）
　ｘ＝２２[m]＝(４[m]・５)＋２[m]
ですから、求めたい　ｘ＝２２[m]の地点での状態は、ｘ＝２[m]のところの状態と同じだということです。
このように考えてくると、問題の図を、ｘ軸の負の向きに３[m]ずらした後で、ｘ＝２[m]の地点での形を見れば良いことがわかります。
　ｙ＝…

お礼

分かりやすかったです
ありがとうございました！

回答No.2

アウストラロ ピテクス（@ngkdddjkk）

波動は通常、進行波(Ａsin(ωt－kx))、または後退波(Ａsin(ωt＋kx))として記述されます。

tで微分するのは、
ωt－kx＝定数
の式です。

お礼

すみません、間違えました
ωt-kxをtで微分したら、kxは定数として扱うから0でωになりませんか？

補足

tで微分したらωt=0じゃないんですか？

回答No.1

アウストラロ ピテクス（@ngkdddjkk）

周期が4、振幅が0.2ということが画像からわかるから、t＝0のとき
－0.2sin(πx/2)

通常進行波は、xの正方向を＋とすると
Ａsin(ωt－kx)
であるので、ωt－kx＝定数となる点は時間と共に動く。両辺をtで微分するとv＝dx/dt＝ω/k＝2ω/π＝－1[m/s]
従って、ω＝－π/2
進行波の振幅Ａ＝0.2を代入すると
0.2sin(－πt/2－πx/2)＝－0.2sin[π(t＋x)/2]

あとはxとtを代入したときの値を求めればよろし。

補足

すみません
通常進行派とはなんですか？
また、
両辺をtで微分すると
の両辺はどれですか？