数学Ｂ 数列の問題

質問

わからない問題があるので教えてください。

数列｛an｝はすべての自然数nについて、an+a(n+1)=(n+1)^2を満たしており、かつa3=6である。
このとき、a1=ア、a2=イ、a4=ウエ、a5=オカ であり、a20=キクケである。
この数列｛an｝について、Σak[k=1,20]=コサシス であり、Σ1/ak[k=1,60]=セソタ/チツ である。

まず、a1～a5までの求め方なんですが、
a2+a3=(2+1)^2→a2=9-6=3
a1+a2=(1+1)^2→a1=4-3=1
こういう風に、出た答えをどんどん代入していけばいいのでしょうか??
他にやり方があったら教えてほしいです。

それから…a20の求め方がまったくわかりません。上のやり方で求めると大変だから漸化式を使うのかなぁと思ったのですが…
そのあとのΣの計算もわからないのでお願いします。

ちなみに答えは、a1=1、a2=3、a4=10、a5=15、a20=210
Σak[k=1,20]=1540、Σ1/ak[k=1,60]=120/61
となっています。

よろしくお願いします。

回答No.3

debut · ベストアンサー

（細かく書き過ぎかもしれません。どうしてもだめだったら読んでください）

１，３，６、10、15・・から、階差数列(2,3,4,5,・・)が初項２、公差１の等差数列（一般項はn+1）であるとみると、
a_n=1+Σ[k=1～n-1](k+1)=1+n(n-1)/2+n-1=(n^2+n)/2=n(n+1)/2
（一般項＝初項＋Σ(階差の一般項を初項からｎ－１項まで)ですね）
すると、a_(n+1)=(n+1)(n+2)/2なのでa_n+a_(n+1)=(n+1)^2でＯＫ。
よって、a_20はｎ＝20を代入して、a_20=20*21/2=210

Σ[k=1～n](k^2+k)/2
=(1/12){n(n+1)(2n+1)}+(1/4){n(n+1)}
（Σk^2=(1/6)n(n+1)(2n+1)、Σk=(1/2)n(n+1)ですね）
だから、n=20を代入して
Σ[k=1～20](k^2+k)/2
＝(1/12)*20*21*41+(1/4)*20*21
＝1435+105
＝1540

Σ[k=1～n]{2/k(k+1)}　は定番ですね！
=Σ[k=1～n]2{1/k-1/(k+1)}
（k=1,2とn-1,nくらいを書き出してみれば、間の項が気持ちよく消えて）
=2{1/1-1/2+1/2-1/3+・・・・+1/(n-1)-1/n+1/n-1/(n+1)}
=2{1-1/(n+1)}
だから、n=60を代入して、
Σ[k=1～60]{2/k(k+1)}=2*(1-1/61)=2*60/61=120/61

です。

回答No.2

noname#75273

a1～a5までは、上記の方法で値を算出するのが一般的です。
a_20の場合数列{a_n}の一般項を求める必要があります。

a_1 = 1
a_2 = 3
a_3 = 6
a_4 = 10
a_5 = 15

⇒　2、3、4、5　で増加している
⇒　階差数列
⇒　b_n = n + 1

⇒　a_n = a_1 + Σ[K=1～n-1] b_k (n >= 2)
⇒　b_k = k + 1　　また、a_1 = 1より、
⇒　a_n = 1 + Σ[K=1～n-1] (k + 1) 　　　 (n >= 2)
⇒　a_n = 1 + (n - 1)・n / 2 + (n - 1) 　　　(n >= 2)
ここで、n = 20を代入してa_20が求まる

Σak[k=1,20]=1540、Σ1/ak[k=1,60]=120/61
の解法は、上記のa_n を整理して、Σak[k=1,20]を計算
Σ1/ak[k=1,60]=120/61は、部分分数分解を利用して計算する。

回答No.1

pascal3141

a2+a3=(2+1)^2→a2=9-6=3 、a1+a2=(1+1)^2→a1=4-3=1として求めて行けばいいです。こうすることで、a1～a5間での数字が求まり、その数字の規則を見つけさせてa20（または一般項）を求めさせるという問題です。ちなみに、a1=1,a2=3,a3=6,a4=10,の数字の規則は、差をとればわかるはずです。あとはここから一般項をだせばＯＫ。