数列の問題！

質問

数列{Ａn}がＡ1=1,Ａ(2n)=2・Ａ(n-1), Ａ(2n+1)=Ａ2n+2^(n-1)で与えられている。
（１）Ａ2n,A(2n-1)を求めよ。
（２）Ｓ＝２ｎ
　　　　　ΣAk　　　を求めよ。
k=1

Ａ２ｎはＡｎと同じように考えていい・・・のですよね？
全然上手くいかず、ばたんきゅーです××

どなたか分かる方教えてください＝（泣）

回答No.1

alice_44 · ベストアンサー

A(2n) = 2 A(2n-1) じゃないの？
A(2n) = 2 A(n-1) だと、手に負えないと思うな。
参考→ http://enjoymath.blog71.fc2.com/blog-entry-26.html

A(2n) = 2 A(2n-1),　A(2n+1) = A(2n) + 2^(n-1) の誤植であれば、
A(2n), A(2n-1) を B(n), C(n) と考えてしまうといい。
偶数番目と奇数番目で漸化式が違うことがややこしいのだから、
偶奇を分離して、漸化式をそれぞれ式一本にすれば、見通しがつく。

B(n) = 2 C(n),　C(n+1) = B(n) + 2^(n-1)
を変形して、
B(n+1) = 2 C(n+1) = 2 B(n) + 2^n,
C(n+1) = B(n) + 2^(n-1) = 2 C(n) + 2^(n-1).

似たような漸化式だが、どちらも 2^n で割れば、
B(n+1)/2^n = B(n)/2^(n-1) + 1,
C(n+1)/2^n = C(n)/2^(n-1) + 1/2.
となって、
B(n)/2^(n-1) = B(1) + (n-1),
C(n)/2^(n-1) = C(1) + (1/2)(n-1).
と解ける。
C(1), B(1) の値は、A(1) = 1,　A(2) = 2 A(1) から求められる。

S は、Σ の上限がわざわざ偶数にしてあるので、
s(n) = Σ[k=1…2n] A(k) = Σ[k=1…n] C(k) + B(k) と扱えばいい。
定石どおり、s(n+1) - 2 s(n) を考える。

お礼

・・・ってうわぁ！
私のかんちがいですね！はい！

ごめんなさいでした！
あとありがとうございました！

補足

おっしゃるとおりの間違いをしていました＞＜
ごめんなさいっ。

…えっと、Ａ（２ｎ）＝２Ａ（２ｎー１）でＡ（２ｎ）をＢｎと置くなら
Ｂｎ＝２Ｃ（ｎー１）じゃないのでしょうか？

回答No.2

alice_44

A(2n) = B(n),
A(2n-1) = C(n)
と置いたので、
A(2n) = 2 A(2n-1),
A(2n+1) = A(2n) + 2^(n-1)
が
B(n) = 2 C(n),
C(n+1) = B(n) + 2^(n-1)
と書き換えられた。

替わりに
A(2n) = B(n),
A(2n-1) = C(n-1)
と置くのなら、
B(n) = 2 C(n-1),
C(n) = B(n) + 2^(n-1)
より
B(n+1)/2^n = B(n)/2^(n-1) + 1,
C(n+1)/2^n = C(n)/2^(n-1) + 1
となる。

C(　) の添え字が 1 ズレるだけで、
計算の内容に違いはない。