y=x^2+1上の点と(6,4)の点との距離最小

質問

y=x^2+1上の点を(t,t^2+1)として
(6-t)^2 + (4-(t^2+1))^2
を最小にするtを求めたら2がでたんですが
この問題は他の解き方はありませんか？
4乗がでてきて扱いがややこしくなったので
もし綺麗なやりかたがあるなら身に付けたいと思いまして

回答No.8

178-tall

これは余興なので、見流していただければさいわい。

本題は「y=x^2+1上の点と(6,4)の点との距離最小」でした。
ならば、y=x^2+1 上の点と (-2,6) の点との距離最小、ならば如何？
本題の y=x^2+1 上の距離最小点に対する (6,4) の対称点のつもり。

これの三次多項式も目算で解けます。
お気づきのように、本題との違いは (-2,6) は y=x^2+1 の凸領域内にあること。
余興では、のこりの二次多項式が実の零点をもち、その先の吟味を要します…。

回答No.7

alice_44

←A No.5
算数としては、それでよいのかも知れないが…
＞ 2つの2次曲線が接するという事は、
＞ 放物線上の点Ｐ(α、α＾2＋1)における放物線と円の接線が一致する事を言う。
を「接する」の定義とすると、
＞ (x-6)＾2＋(y-4)＾2＝r＾2。この円と放物線が接する
場合が存在することは、決して自明ではない。
接する場合が(あれば)極小になることは、自明だけれども。
そこが、「厄介」と言った部分なんだがな。
No.4 さんは、その点が理解できたようだよ。

回答No.6

Tacosan

問題に素直に Lagrangeの未定乗数法を使ってもいいのか. やっぱり 3次方程式になりそうだけど.

回答No.5

mister_moonlight

こんなのは、図形的に考えたら良い。

点(6、4)を中心とする半径がrの円を考える。
この円は　(x-6)＾2＋(y-4)＾2＝r＾2。この円と放物線が接する時が最小になる事は自明。
2つの2次曲線が接するという事は、放物線上の点Ｐ(α、α＾2＋1)における放物線と円の接線が一致する事を言う。

放物線の接線は　y＝2αx＋1-α＾2、円の接線は　(α-6)*(x-6)＋(α＾2-3)*(y-4)＝r＾2。
この2つが一致するから(途中の計算は省略する)　6-α＝(2α)*(α＾2-3)、もう一つ関係式が出るが、省略。
これを解くと、(α-2)*(2α＾2＋4α＋3)＝0.
2α＾2＋4α＋3＞0より　α＝2.　もう1つの関係式から、rの値も出る。

(注)
曲線と曲線が接する、事の内容は　現在は数IIIで扱っているのかも知れないが　知っていて損する事はない。

回答No.4

178-tall

当然なのでしょうが (論証しかねてますけど) 、三次多項式の零点を求める手続きは不可避みたいですね。
たまたま、例題は目算できる作りになってますが…。

回答No.3

alice_44

法線を使うやりかたは、何故その解法でよいのか
の論証を沿えようとすると厄介なんだよなあ。
答えを出す計算は、短くなるのだけれど。
(6-t)^2+(4-(t^2+1))^2 を最小にする t
を求める解法は、根拠が簡明で、計算だけすれば済む。

回答No.2

ferien

y=x^2+1上の点を(t,t^2+1)として
(6-t)^2 + (4-(t^2+1))^2
を最小にするtを求めたら2がでたんですが
＞この問題は他の解き方はありませんか？
良い解き方かどうか分かりませんが、
少しは計算が楽になるんではないかと言う解き方です。

ｙ＝ｘ^2＋１上の接線の接点をＡ（ｐ，ｑ）とすると、
接点Ａと（６，４）を通る直線と、接線が垂直になるようにＡの座標を決めれば、
接点Ａと（６，４）の間の距離が最小距離になります。
ｙ'＝２ｘより、接線の傾き＝２ｐ
Ａと（６，４）を通る直線の傾き＝（ｑ－４）／（ｐ－６）
垂直だから、２ｐ×｛（ｑ－４）／（ｐ－６）｝＝－１より、
２ｐ（ｑ－４）＝６－ｐ，　ｑ＝ｐ^2＋１だから、代入して整理すると、
２ｐ（ｐ^2＋１－４）＝６－ｐ
２p^3－５ｐ－６＝０　
（ｐ－２）（２ｐ^2＋４ｐ＋３）＝０
２ｐ^2＋４ｐ＋３
＝２（ｐ^2＋２ｐ+１）－２＋３
＝２（ｐ＋１）^2＋１＞０だから、
ｐ－２＝０より、ｐ＝２で、ｑ＝２^2＋１＝５だから、接点Ａ（２，５）
最小距離は、
（６－２）^2＋（４－５）^2＝４^2＋（－１）^2＝１７より、
答えは、√１７

でどうでしょうか？グラフを描いてみてください。

回答No.1

Tacosan

法線でも使ってみる?