※ ChatGPTを利用し、要約された質問です（原文：数列の極限の評価の仕方について）
数列の極限の評価の仕方
数列の極限について、一つ疑問というか、考え方を知りたいと思い、投稿してみます。
興味がありましたら、是非コメントのほど宜しくお願い致します。
☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆
【数列の極限】
lim(n→∞)an=α の時、
bn=(a1+a2+・・・+an)/n の極限もαになる、という問題についてです。
☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆
解き方は分かるので、分かっているところまで書きます。
↓Start
「任意の ε/2 を与えても n1>0 を取ることにより、
n>N1 なら |an-α|<ε/2 と表せる」ことが初期条件で与えられているので、
n>N1 なら
|bn-α| = |(a1+a2+・・・+an)/n - α|
<=(|a1-α|+|a2-α|+・・・|aN1-α|)/n + (|aN1+1-α|+|aN2+2-α|+・・・|an-α|)/n ・・・☆
と、三角不等式を使って、 n=N1の部分 で２つの式に分解する。
☆の右辺第２項については、仮定より、
（右辺第２項） < (n-N1)/n * ε/2 < ε/2 (なぜなら、(n-N1)/n < 1） である。
☆の右辺第１項については、N1が定数で、
さらに分子は絶対値の足し算（＝定数）なので
（分子）＝A（>0）の正の定数と置くと、
（右辺第１項） = A/n となります。
※ここは、収束する数列は有界である、という条件を使って
分子をKで表してもいいですが、今回はこのようにやりました。
ここで、充分大きな M を取れば、
n>M なら、A/n < ε/2 となるので、
※ここは、アルキメデスの原理を使って、存在の保証をしてあげてもいいですが、
今回の質問の主旨とは違うので、簡易的に書きました。
N=max{N1,M} とすれば、
☆は、 n>N なら
A/n + (|aN1+1-α|+|aN2+2-α|+・・・|an-α|)/n
<ε/2 + ε/2 = ε となり、証明完了となります。
-----------------------------------------------------
ここで,
N=max{N1,M} について、もう少し掘り下げて考えてみたいのです。
まず、場合分けして考えてみます。
i ) N1 < M の時は、
A/n + (|aN1+1-α|+|aN2+2-α|+・・・|an-α|)/n を評価する際に、
A/n < ε/2 となるのは n>M の時なので、n > N1 で評価しようと思っても、
N1 < n <= M の時は評価不能。
従って、全体を n > M で評価してあげないと、右辺の２つの項は評価できないので、
証明ができません。 （なお、右辺第２項は、たかだか n>N1 で成り立つので、
n>M>N1 なら余裕で成り立つ。）
従って、 N=max{N1,M} と置くのは正解。
ii ) N1 > M の時は、
|bn-α| の評価を始めた時点でn>N1 としてスタートしているので、
A/n は問答無用で A/n < ε/2 となる。
（なぜなら、N1 > M より、A/N1 < A/M 。
n > M なら A/n < ε/2 なので、 ε/2 > A/M +1 > A/M +2 ・・・ > A/N1 > A/N1+1）
従って、N=N1 つまり、N=max{N1,M}と置いて評価すれば正解。
-----------------------------------------------------
さて、やっと質問です。
iii ) N1 > M の時、 N=M（つまり、N=min{N1,M}） で評価したらダメかどうか、知りたいのです。
実験してみます。
例えば、具体的な数で考えてみると、
N1=1000
M=100 などと置いてみますね。
すると、n > M(=100) の時、
|bn| <= A/n + (|aN1+1-α|+|aN2+2-α|+・・・|an-α|)/n
と書ける場合と書けない場合が出てきます。
具体的に、n > 1001 > N1 なら上記の式は書けますが、
M < n <= N1 の時は、右辺第2項は登場しません。
ところが、 A というのはもともと
A = (|a1-α|+|a2-α|+・・・|aN1-α|) ですよね。
よく見ると、100 < n <＝1000 の時は
A= (|a1-α|+|a2-α|+・・・|aN1-α|) > (|a1-α|+|a2-α|+・・・|a500-α|)=A' などのように、
M < n < =N1 の時、上記不等式が成立します。
すると、
M < n <=N1 の時、
|bn|<=A'/n というシンプルな式になり、
n > M なら、A'/n < A/n < ε/2 で、証明完了となります。
以上から、n > M で評価する際は、
(1)n > N1 の時と (2) M < n <=N1 の時で場合分けし、
いずれも証明可能であることを示せば良いので、
N=min{N1,M} でも良い。
という結論（？）が導かれます。。。
----------------------------------------------------
この議論、どこかおかしいところあります？
というのは、この議論を「真」にしてしまうと、
N1 > M の時は、N=max{N1,M}と置かなくても良い、ということになります。
個人的には、絶対どこかがおかしいと思うのですが、
もやもやしてて良くわかりません。
例えば、M という数字そのものが、 n > N1 を前提に議論を進めた結果
登場したものであり、最初から与えられていたわけではありません。
従って、循環論法になっている気がするのですが、どこがどう循環しているか
ピントきません。
また、昔から習ってきたこととして、
最初に与えられた N1 よりも充分大きな M を取ればいい、という
先生の教えは間違っていたことになってしまいます。
なぜなら、上記の議論を真とするなら、
「別に M は N1 よりも小さくていい」ってことになりますから。
怪しいのはやはり、 A の扱い方の気がします。。。
理屈っぽい書き方になってしまい、読むのに疲れるかと思いますので、
興味がある方のみで結構ですので、是非コメントのほど宜しくお願い致します。
お礼
コメント頂き、ありがとうございます。 質問を流し読みではなく、しっかり読んで頂いたことがよく分かりました。 ありがとうございました。 他の掲示板で同じ質問をしたところ、興味深い回答が返ってきましたので、検索でこのページを見た方のために、転記をしてスレを閉じさせて頂きます。 ----------------------------------------------------- 固定する順番に文字を挙げると, ε，N1, (A,) Mであって, Mはn>MならばΣ_{i=1}^{N1}|a_i-α|/n<ε/2となるように取っただけですから, 別にn>N1を前提として，選んだわけではありません． (Mの条件式にでてくるnにn>N1ということは課されていないはずです．) で, N1>Mのときの推論ですが, 別に間違っていないと思います． 極限なので, 十分先で分かればよいから，議論を簡単にするために，十分大きな数をとることが多いですが, もし精密な評価をしようとするなら, もっと小さく押さえられることも少なくないと思います． また，「N1 よりも充分大きな M を取ればいい」というのは, 「N1より小さなMをとってはいけない」ということを否定しているわけではありませんから, 「別に M は N1 よりも小さくていい」と両立します． -----------------------------------------------------
補足
何度もコメントありがとうございます。 おっしゃる事はごもっともです。正しいです。 私の質問の意図がわかりにくいんだと思います。 【あくまでも、証明できるかどうかという大きな問題ではなく、 頭の体操と思ってお付き合い下さいね ＾＾； 】 そうですね・・・ では、もしあなたが数学の先生だったとして、 生徒が答案に「N1より大きいMを取れば成り立つ」、という記述があったら、○にしますか？ △にしますか？ 「大小関係はどちらでもいい」が厳密には正しく、N=max{N1,M}と書かなかったため△にするか、「本質的な議論でないから、略解として問題無し」として○にするか。 私は△の立場を取りたい、ということで場合分けの議論が合っているかどうかを質問した、という事なんです。 なんとなく伝わりましたでしょうか？^^; で、もし、ここで△にしたとして、生徒が 「だって教科書にちゃんと書いてありましたよ、ほら。」 と言って、「N1より大きいMを取れば成り立つ」と書かれた 教科書を持ってきてしまいます。 さて、どうやって生徒に説得しますか？ というのが知りたいことでした。