ベクトル解析

質問

曲面2x^2+3y^2+4z^2=9で囲まれた体積を求めよ。

この問題がわかりません。ご教授お願いします。答えは３√２πです。

回答No.3

info22_ · ベストアンサー

>答えは３√２π
間違いです。
正しい答えは　3√6π　です。

2x^2+3y^2+4z^2=9

V=8∫∫∫[2x^2+3y^2+4z^2≦9,x≧0,y≧0,z≧0] dxdydz
=8∫∫∫[(2/9)x^2+(1/3)y^2+(4/9)z^2≦1,x≧0,y≧0,z≧0] dxdydz

x=(3/√2)X,y=(√3)Y,z=(3/2)Zとおくとdxdydz=9√3/(2√2)dXdYdZ

V=8∫∫∫[X^2+Y^2+Z^2≦1,X≧0,Y≧0,Z≧0] 9√3/(2√2)dXdYdZ
=18√6∫∫∫[X^2+Y^2+Z^2≦1,X≧0,Y≧0,Z≧0] dXdYdZ ...(1)
(1)の３重積分は半径1の球の体積の(1/8)なので
V=18√6*(4π/3)*(1^3)/8
=3√6π

(1)の体積を積分で計算するのであれば
V=18√6∫∫[X^2+Y^2≦1,X≧0,Y≧0] √(1-X^2-Y^2)dXdY
X=rcos(t),Y=rsin(t)とおくと √(1-X^2-Y^2)dXdY=√(1-r^2)rdrdy　なので
V=18√6∫[0,π/2]dt∫[0,1] r(1-r^2)^(1/2) dr
=18√6∫[0,π/2]dt[(-1/2)(2/3)(1-r^2)^(3/2)][r:0,1]
=18√6*(π/2)(1/3)
=3√6π
と上と同じ答えになります。

お礼

ご丁寧な回答どうもありがとうございます。

回答No.2

Tacosan

ん～, なんか 3√6π っぽいんだけど....

気のせいかなぁ....

お礼

どうやら教科書の答えが違うようでした。どうもありがとうございます。

回答No.1

アウストラロ ピテクス（@ngkdddjkk）

曲座標に直し、点対称であることをもちいる。

お礼

アドバイスありがとうございます。