体積の問題です

質問

曲面 (x^2+y^2+z^2)^2=z で囲まれる図形の体積を求める問題です。

もしわかる人がいましたら教えてください。
よろしくお願いします。

回答No.3

kabaokaba · ベストアンサー

あ，移項まちがった

x^2+y^2 = -z±(z)^{1/2}

だった orz
さらに，x^2+y^2>=0なんだから

x^2+y^2 = -z+(z)^{1/2}

0<=z<=1については・・・それくらい気がついてほしい

z>=0は明らか

x^2+y^2 = -z+(z)^{1/2} >= 0 なんだから
z^{1/2} >= z >= 0
z>=z^2
0>=z^2-z
0>=z(z-1)
0<=z<=1

というわけで
No.2さんが正解でしょう．

この手の体積は，軸に垂直な断面の面積を求めて
それを積分するのが定石
今回は，z=kという平面での切断面を求めていることに相当する

お礼

丁寧に細かく書いてくださり、助かりました。
おかげで、自分の勘違いによるミスということに気づけました。

本当に、ありがとうございました。

回答No.2

nag0720

(x^2+y^2+z^2)^2=z
x^2+y^2=√z-z^2
zの範囲は、0≦z≦1
この立体をz=tの平面で切ったときの断面は半径√(√t-t^2)の円で、面積は、π(√t-t^2)

体積は、
∫[0→1]π(√t-t^2)dt

お礼

ありがとうございます。
x^2+y^2=√z-z^2ですよね。

分かりやすい回答、本当にありがとうございました。

回答No.1

kabaokaba

x^2+y^2 = z^2 ± (z)^{1/2}
なんだから
0<=z<=1の範囲で
断面積
2π(z)^{1/2}
を積分すればでるのでは？

補足

せっかくにヒントなのですが、
0<=z<=1の範囲というところから分からないです。

よろしかったら、もう少し詳しく書いてくださると、
とてもありがたいです。