★至急 高校数B

質問

★至急
高校数B 模試対策で分からない問題があったので、回答と解説をお願いします

O１ 立方体OABC－DEFGは１辺の長さが２である

<１>ベクトルOB→とベクトルCF→を成分表示せよ

<２>内積ベクトルOB→・ベクトルCF→を求めよ

<３>ベクトルOB→とCF→のなす角を求めよ

回答No.3

yyssaa

OABCを立方体の上面、DEFGをDがOに対応した底面とし、
成分はOを頂点とする各辺のベクトル表示OA↑、OC↑、
OD↑として回答します。
<１>ベクトルOB→とベクトルCF→を成分表示せよ
OB→=OA↑+AB→=OA↑+OC↑・・・答え
CF→=CB→+BF→=OA↑+AE→=OA↑+OD↑・・・答え
<２>内積ベクトルOB→・ベクトルCF→を求めよ
OB→・CF→=(OA↑+OC↑)・(OA↑+OD↑)
=OA↑・OA↑+OA↑・OD↑+OC↑・OA↑+OC↑・OD↑
=2*2+0+0+0=4・・・答え
<３>ベクトルOB→とCF→のなす角を求めよ
OB→とCF→のなす角をθとすると、
OB→・CF→=|OB→|*|CF→|cosθ=(2√2)*(2√2)cosθ
=8cosθ
<２>の答えから、8cosθ=4、cosθ=4/8=1/2、θ=π/3
よって、ベクトルOB→とCF→のなす角=π/3・・・答え

回答No.2

ferien

＞O１ 立方体OABC－DEFGは１辺の長さが２である
ＯＡ，ＯＣ，ＯＤベクトルとして、｜ＯＡ｜＝｜ＯＣ｜＝｜ＯＤ｜＝２
３つのベクトルは互いに垂直だから、ＯＡ・ＯＣ＝ＯＡ・ＯＤ＝ＯＣ・ＯＤ＝０

＞<１>ベクトルOB→とベクトルCF→を成分表示せよ
立方体の図から、ＯＢ＝ＯＡ＋ＯＣ，
ＣＦ＝ＯＦ－ＯＣ＝（ＯＣ＋ＯＤ＋ＯＡ）－ＯＣ＝ＯＡ＋ＯＤ
＞<２>内積ベクトルOB→・ベクトルCF→を求めよ
ＯＢ・ＣＦ＝（ＯＡ＋ＯＣ）・（ＯＡ＋ＯＤ）
＝｜ＯＡ｜^2＋ＯＡ・ＯＤ＋ＯＣ・ＯＡ＋ＯＣ・ＯＤ
＝２^2
＝４
＞<３>ベクトルOB→とCF→のなす角を求めよ
｜ＯＢ｜^2＝｜ＯＡ＋ＯＣ｜^2
＝｜ＯＡ｜^2＋２（ＯＡ・ＯＣ）＋｜ＯＣ｜^2
＝２^2＋２^2
＝８より、｜ＯＢ｜＝２√２
同様にして、｜ＣＦ｜＝２√２
２つのベクトルのなす角をθとすると、
cosθ＝（ＯＢ・ＣＦ）／｜ＯＢ｜・｜ＣＦ｜
＝４／２√２・２√２
＝１／２
よって、θ＝π／３

回答No.1

asuncion

＞立方体OABC－DEFG

正方形OABCの、各頂点の位置関係は、
O：原点
原点から時計回りにA,B,Cの順、ということでしょうか。
時計回りでも反時計回りでもOB→の成分を求めるには同じことかもしれませんが、
念のためです。

正方形DEFGの頂点D～Gは、底面の（と思われる）正方形ABCDと
どのような位置関係にありますか？
CF→の成分を求める際、この位置関係が重要になってくるような気がします。