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公式の意味を教えてください
1^2+2^2+...+(n-1)^2+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 多変量解析の本を読んでいたら、上記の式が出てきました。 どうして左側の式が右側の式になるのかわかりません。 どなたか教えていただけないでしょうか。 よろしくお願いします。
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- lovebeliever
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S_n=1^2+2^2+...+(n-1)^2+n^2 とさせてください。 まず次の式を考えます！ (k+1)^3 - k^3 = 3k^2 + 3k + 1 この式のｋに１からｎまでの値を代入 k=1 のとき 2^3 - 1^3 = 3*1^2 + 3*1 + 1 k=2 のとき 3^3 - 2^3 = 3*2^2 + 3*2 + 1 ・ ・ ・ ・ ・ ・ k=n-1 のとき n^3 - (n-1)^3 = 3*(n-1)^2 + 3*(n-1) + 1 k=n のとき (n+1)^3 - n^3 = 3*n^2 + 3*n + 1 上にできたｎ個の式の辺々を加えると (n+1)^3 - 1^3 = 3*(1^2+2^2+...+(n-1)^2+n^2) + 3*(1+2+...+(n-1)+n) + 1*n n^3 + 3n^2 +3n +1 -1 = 3*S_n + 3*(1/2)n(n+1) + n 1+2+...+(n-1)+n=(1/2)n(n+1) を断わりなく使うことをお許し下さい。 3*S_n = n^3 + 3n^2 +3n - (3/2)n^2 - (3/2)n - n = n^3 + (3/2)n^2 + (1/2)n = (1/2)(2n^3+3n^2+n) = (1/2)n(2n^2+3n+1) = (1/2)n(n+1)(2n+1) よって S_n = (1/6)n(n+1)(2n+1) 以上です。
お礼
lovebeliever さん、丁寧なご回答ありがとうございます。 実際に説明を追いながら計算してみようと思いましたが、 数Iも赤点のレベルなので「上にできたｎ個の式の辺々を加えると」 の次の式でわからなくなってしまいました。 ご説明はプリントアウトして保存しておき、本を読み進めながら また日を改めて読み返して挑戦してみます。 とり急ぎお礼まで。
補足
ご回答ありがとうございます。 せっかくご回答いただいたのに申し訳ありませんが、私の 質問の仕方が悪かったようなので、訂正させてください。 なぜ突然1/6が出てくるのかがわからなかったので、左の式と 右の式がイコールになる証明というより、左の式が右の式に 変わっていく過程を知りたいと思っています。
- puni2
- ベストアンサー率57% (1002/1731)
高校の数学で数列を学んだ時に出てきた覚えがありますが，そのときは，確か数学的帰納法で証明したと思います。 n Σ i^2 = n(n+1)(2n+1)/6 i=1 を示す。 (1) n=1のとき 左辺＝1，右辺＝1*/2*3/6＝1で成立。 (2) n=kのとき成立していると仮定する。すなわち， k Σ i^2 = k(k+1)(2k+1)/6 i=1 とする。このとき，n=k+1の場合を考えると， 左辺は，仮定より k+1 Σ i^2 = k(k+1)(2k+1)/6 + (k+1)^2 i=1 = （強引に展開。中略） = (2k^3 + 9k^2 + 13k +1) / 6 右辺は，証明すべき式にn=k+1を代入して (k+1){(k+1)+1}{2(k+1)+1}/6 = （これもひたすら展開。中略） = (2k^3 + 9k^2 + 13k +1) / 6 = 左辺 よって，n=kのとき成り立てばn=k+1のとき成り立つ。 以上より，全ての自然数iに対して与式は成立する。（証明終わり） もっとかっこいい証明方法があるのかもしれませんが，それは他の方のお答えを待ちましょう。
お礼
puni2 さん、わかりやすいご回答をありがとうございます。 実際にご回答の通りに式を展開してみましたら、 (2k^3 + 9k^2 + 13k + 6) / 6 で、同じ値になりました。 本にも帰納法と書いてありましたが、実際に証明するとこの ようになるのですね。
お礼
nagata さん、ご回答ありがとうございます。 三角形の面積や体積が関係するとは知りませんでした。 統計に関する公式の成り立ちについては、数理統計学の本を 読むとよいことがわかりました。東大出版会や倍風館から よい参考書が出ているようなので、探して読んでみます。 ありがとうございました。