線形代数学

質問

A=[3 4↓-1 -2]とする。次の性質(*)を満たすx∈R^2をすべて求めよ。
(*)R^2の元の列{x,Ax,(A^2)x,...}は有界である。

自分なりに考えてみると、
(A^n)x=0　(n→∞のとき)
となるxを求める問題と解釈しました。

わかる方よろしくお願いします。

回答No.3

Tacosan · ベストアンサー

そんな答えは全く期待していない. #2 では「分かったんですね?」と書かれていますけど, 多分わかっていないんじゃないかな.
もう一度書きます:
ベクトルでなく, 実数で数列 { x, ax, a^2, ... } が有界だとしたら, a はどんな条件が必要ですか? おうむがえしに
「実数列に属するどんな値に対しても
m≦(a^n)x≦M (n=0,1,...)
となるM,mがとれること。」
と書くのではなく (それはただ「上記数列が有界だ」と書いたのと同じで何も意味はない), 実際に a の範囲を書いてください.
あとは A の固有値がわかれば簡単.

補足

確かに
実数列に属するどんな値に対しても
m≦(a^n)x≦M (n=0,1,...)
となるM,mがとれること。
だけでは意味はないですね。すいません。

(a^n)xが有界であるためには-1≦a≦1が必要だと思います。
(xは初項で有界であることがわかっているから。)

Aの固有値は-1と2であることは計算から求められました。
また固有ベクトルは(1 -1),(4 -1)です。
A^n=(-1/3)*(-4p+q -4p+4q↓p-q p-4q) [p=2^n,q=(-1)^n]
X=(x y)とすると、
(A^n)X=(-1/3)*( (-4p+q)x+(-4p+4q)y ↓ (p-q)x+(p-4q)y )
=(-1/3)*( (-4x-4y)p+(x+4y)q ↓ (x+y)p+(-x-4y)q )
x,y,(-1)^n(n=0,1,...)は有界で、p=2^n(n=0,1,...)は有界でないとこに注意すると、
-4x-4y=0,x+y=0
であることが必要。
よってx=-yであればよく、
X=k(1 -1)(k∈R)

順序を考えてアドバイスしていただきありがとうございます。

回答No.2

arrysthmia

←No.1 補足
そのとき lim (a^n)x = 0 でなくても良いことは、分かったんですね？
a = 1 や a = -1 でも良いんですからね。
次に、{ x, ax, (a^2)x, (a^3)x, … } が複素数列の場合を考えると、
行列の場合へ話が一歩近づきます。

補足

複素数列の場合、
各成分のノルムが有界であればよく、
0を含む任意の自然数nで
||(a^n)x||<M
となるMが存在する。
でしょうか。

とゆうことは行列の場合も複素数と同様(?)に考えて、
0を含む任意の自然数nで、
||(A^n)x||<M
となるMが存在する。
でいいのですか？

回答No.1

Tacosan

なぜそう解釈したんでしょうか?
ベクトルでなく, 実数で数列 { x, ax, a^2, ... } が有界だとしたら, a はどんな条件が必要ですか?

補足

実数列に属するどんな値に対しても
m≦(a^n)x≦M (n=0,1,...)
となるM,mがとれること。
がaの条件でしょうか？