数Ｂベクトルの問題です。

質問

解説をお願いします。
△ABCと点Pに対してAP↑+BP↑+CP↑=0↑が成り立つとき点Pの位置をいえ。

このとき、位置ベクトルで考えるのではなく
△ＡＢＣのＡＢをｂ↑,ACをc↑ APをp↑として考えたとき

いろいろ整理して、結果ｐ＝b↑＋c↑/３
となったんですが、なぜこれが重心なんでしょう

丁寧な説明をおねがいします

回答No.3

ferien · ベストアンサー

＞いろいろ整理して、結果ｐ＝（b↑＋c↑）/３
＞となったんですが、なぜこれが重心なんでしょう

図で確認します。Ｐを重心，ＡＣの中点をＤとすると、ベクトルＡＤ＝(1/2)ＡＣ
ＢＰ：ＰＤ＝２：１より、ＢＰ：ＢＤ＝２：３だから、
ベクトルＢＰ＝(2/3)ベクトルＢＤだから、以下もベクトルとして、
ＡＰ－ＡＢ＝(2/3)（ＡＤ－ＡＢ）
ＡＰ＝ＡＢ－(2/3)ＡＢ＋(2/3)ＡＤ
＝(1/3)ＡＢ＋(2/3)×(1/2)ＡＣ
＝(1/3)（ＡＢ＋ＡＣ）……重心を表す式
同じ式ｐ＝（b↑＋c↑）/３　が得られます。

どうでしょうか？

回答No.4

yyssaa

なぜこれが重心なんでしょう
＞
BC↑=a↑とするとb↑+a↑=c↑からa↑=c↑-b↑。
(BA↑+a↑)/3=(-b↑+a↑)/3=(-b↑+c↑-b↑)/3
=(-2b↑+c↑)/3
これをBQ↑としてb↑+BQ↑を計算すると、b↑+BQ↑
=b↑+(-2b↑+c↑)/3=(b↑+c↑)/3=p↑となり、点Q
は点Pと一致します。
又、(-a↑-c↑)/3=(-c↑+b↑-c↑)/3=(-2c↑+b↑)/3
これをCR↑としてc↑+CR↑を計算すると、c↑+CR↑
=c↑+↑(-2c↑+b↑)/3=(b↑+c↑)/3=p↑となり、点R
も点P↑と一致します。
そして、b↑+(1/2)a↑=b↑+(1/2)(c↑-b↑)
=(1/2)(b↑+c↑)=(3/2)(b↑+c↑)/3↑=(3/2)p↑より、
p↑が点Aと辺BCの中点を結ぶ線上にあることが分かり
ます。同様に点B点Pと辺ACの中点は一直線上にあり、
点C点Pと辺ABの中点も一直線上にあるので、点Pは△ABC
の各頂点とそれぞれの対辺の中点を結ぶ線分の交点に
位置しているので、定義により点Pは△ABCの重心に
なります。

回答No.2

MagicianKuma

結果p=b↑+c↑/3 ではなく　p↑=(b↑+c↑)/3 ですね。
普通に位置ベクトルで考えたら、OP↑=(OA↑+OB↑+OC↑)/3が重心というのは納得されているのですね。
なら、最初の式はAを原点にしたわけですから、OA↑=0↑　と考えたのと同じ事でしょう。

回答No.1

alice_44

もとの式を OP↑=(OA↑+OB↑+OC↑)/3 と変形したほうが、
計算も短く、意味も解りやすいと思うけど？

どうしても、質問文中の変形でやりたいなら、
AP↑=(2/3)・(AB↑+AC↑)/2 と解釈して、
BCの中点とAを1:2に内分する点が△ABCの重心
であることを思い出そう。