解法を伝授してください。

質問

下記に示します２題について解けないので解法解る方教えて下さい。

(1)In=∫(logⅹ)^n dx,(nは自然数)とするとき、InをIn-1　とⅹの形で表せ。

(2)ニ曲線y=x^2,y=x^3で囲まれてできる図形の面積を求めよ。

(1)の問は全く意味が解らず困っています。
(2)の問は曲線をグラフにしてみたのですが囲まれてできる図形が見えてこずに詰まってしまいました。

ご回答お願い致します。

回答No.3

hinebot · ベストアンサー

(1)部分積分
∫f(x)g'(x)dx = f(x)g(x)-∫f'(x)g(x)dx
を使います。
ｆ(x)=(logx)^n, g'(x)=1 とおくと、
f'(x)= (1/x)*n(logx)^(n-1) , g(x) =x なので
In =∫(logx)^ndx = ∫1*(logx)^n dx
=(logx)^n・x -∫(1/x)*nlogx^(n-1)*xdx
=x(logx)^n -n∫logx^(n-1)dx
もうできたも同然ですね。

(2)x^3=x^2 とおくと
x^3-x^2=x^2(x-1)=0
より、x=0,1 から、２曲線は点(0,0)、(1,1)で交わることが分かります。
よって、積分範囲は 0≦x≦1 となります。
このとき、x^3≦x^2 であることはグラフを書けば明らかです。
あとは ∫[0～1](x^2-x^3)dx を計算するだけ。

お礼

ご回答ありがとうございます。
(2)の問題はとくことができました。ありがとうございます。
(1)のほうが、回答頂いた積分をとくことはできるのですが、その解が題意を満たしている理由がわかりません。(InをIn-1　とⅹの形で表せ。の部分）
宜しければご回答頂けないでしょうか。

回答No.5

mirage70

y=x^3のグラフが書けないと思いました。
y=x^3のグラフは、x<0の時にはy<0となり、
x>=0のときにはy>=0となりますが、
(0,0)、(1,1)でy=x^2と交点を持ち、
0<x<1の時には、x^2>x^3となりますね。
そして、y=x^3のグラフをイメージするのに、
tanxのグラフに近いものを書けばできあがるというものです。
tanxで-π/2<x<π/2のグラフをイメージしますが、
+-π/2近くではtanxは極端に立ち上がり+-無限大になりますが、此を避けるために左右に広げてくださいと云うことです。此が、y=x^3のグラフとすることが出来ます。

＊ただお聞きしたいのですが、tanxはどこで使用するのでしょうか?
＊グラフにしてみたのですが囲まれてできる図形が見えてこずに詰まってしまいました。此に対する図形です。tanxは使用はしません。只、囲まれてできる図形を書くためにイメージとして出したものです。

回答No.4

mirage70

(2)は図形が見えてこずに詰まってしまいました。
y=x^2は、放物線ですのでご存じと思います。
y=x^3は、タンゼントカーブの形を取り、左右に広げた形が1番イメージしやすいと思います。
tanxに付いては、三角関数を調べてください。

お礼

ご回答ありがとうございます。
(2)の問題は解くことが出来ました。ありがとうございます。
ただお聞きしたいのですが、tanxはどこで使用するのでしょうか。

回答No.2

noname#24477

(1)部分積分を使う
∫(x)'(logx)^ndx
とりあえずやってみてください。

(2)前の人が言っている通り、交点を求めます。
グラフをきちんと描けば2つのグラフのどちらが上にあるか分かるはず。不等式で考えてもいいです。

お礼

ご回答ありがとうございます。
(2)のほうはご指導どうりにきちんとグラフを作成したところ解くことができました。
ありがとうございました。

回答No.1

fluffy

こんなのが解けなくなってる・・・（自分）

１はよく分からん微分するとなんかなる？
２は交点が分かるのでその範囲内で２曲線の引き算を積分する

お礼

回答ありがとうございます。
お礼が遅くなってしまいまして申し訳ありませんでした。
もう一度やり直してみようとおもいます。