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解法を教えて下さい。
数学のど素人です。 以下の解法を、どなたかご教示ください（涙） dx/dt=ax-by dx/dt=bx+ay x=r・cosθ y=r・sinθ とすると、 dr/dt=ar dθ/dt=b と、答えが与えられたのですが、 この導き方がさっぱりです。。。 どなたか、ど素人でも理解できる形で 解法をお導き下さい。。。
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dx/dt=ax-by dy/dt=bx+ay x=r・cosθ y=r・sinθ だったのですね。 ＞＞＞ど素人でも理解できる形で解法をお導き下さい。。。 はい。答えではなく解法をお知りになりたいのですよね？ まず、ｘとｙが邪魔なので、ｘとｙを消去することを考えます。 dx/dt = ax-by dy/dt = bx+ay に x = rcosT y = rsinT をいきなり代入しちゃいます。 （θをタイプするのが面倒くさいので、θの代わりにＴと書いてます。） d/dt rcosT = (rcosT)' = arcosT - brsinT （あ） d/dt rsinT = (rsinT)' = brcosT + arsinT （い） （あ）の左辺を計算します。 (rcosT)' ＝ rcosTをｔで微分したもの ここで、積の微分の公式を思い出します。 (fg)' = f'・g + f・g' つまり、片方だけ微分したもの同士を足し算すればよいわけです。 (rcosT)' = r'・cosT + r・(cosT)' ここで、合成関数の微分の公式を思い出します。 f = cosT, T=g(t) と置けば、df/dt = dT/dt・df/dT = T'・df/dT よって、 (cosT)' = -T'sinT よって、 (rcosT)' = r'・cosT + r・(cosT)' = r'・cosT - r・T'sinT よって、（あ）は、 r'・cosT - r・T'sinT = arcosT - brsinT ｒcosTで割って r'/r - T'tanT = aT - btanT （あ’） となります。 （い）についても同様に、 (rsinT)' = r'sinT + r・T'cosT = brcosT + arsinT ｒcosTで割って r'/r・tanT + T' = b + atanT （い’） ここまで来れば、あとは何とかなると思います。 なお、念のために確認。 求める dr/dt とは 上述の式における r' のことです。 求める dθ/dt とは 上述の式における T' のことです。
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- Meowth
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x=r・cosθ y=r・sinθ を微分して x'=r'cosθ-rsinθθ' y'=r'sinθ+rcosθθ' x'=r'/r・rcosθ-rsinθθ' y'=r'/r・rsinθ+rcosθθ' x'=r'/r x-y θ'=ax-by y'=r'/r・y+xθ'=bx+ay (r'/r-a)x-(θ'-b)y=0 (θ'-b)x+(r'/r-a)y=0 r'/r θ' についてとけば、 r'/r-a=0 θ'-b=0 dr/dt=ar dθ/dt=b
お礼
回答、ありがとうございます。 流れはなんとなくですが、受け取れました。 しかし、悲しいかな、数学の知識が十分でないので、理解が乏しい状態です。もう少し考えてみます。 ありがとうございました。
- sanori
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お礼をありがとうございました。 dx/dt の式が２つあるので、なんか変だな、と思っています。
お礼
あ、なるほど。 見直しが甘かったですね、私。 ご指摘どおりです。 （誤） dx/dt=ax-by dx/dt=bx+ay （正） dx/dt=ax-by dy/dt=bx+ay （dxをdyへ。）
- sanori
- ベストアンサー率48% (5664/11798)
こんにちは。 たぶん、４つの式の中で書き間違いがありますね。 ですけど、 考え方としては、合成関数の微分の式を使うことになるはずです。 すなわち、 dx/dt = dx/dθ・dθ/dt dy/dt = dy/dθ・dθ/dt とか dx/dt = dx/dr・dr/dt dy/dt = dy/dr・dr/dt つまり、 dx/dθ、dy/dθ、dx/dr, dy/dr のうちのどれかが、 問題文にある４つの式のどれかから求まるはずなので、 その結果を、上記の式のどれかに代入すればよいです。
お礼
早速のお返事ありがとうございます。 質問欄に記載した条件が、何か足りないのだろう、と思い探しました。 以下の条件を書き忘れていましたが、 それ以外には特に条件らしいものが見当たらないように思います。 （あくまで素人判断ですが。） n(t)=(x(t), y(t)) 上の質問欄の式４つと、今回補足した、この式。 計５つの式から 求める2つの式が導きだされているような文面なのですが、 私が何か見落としているのでしょうか。。。（自信なし。）
お礼
いつもありがとうございます。 なるほど！疑問点もなく、理解できました！ 嬉しいです！！ 数学が必要でまた始めましたが、ブランクが長すぎて適用する公式もわからず、困っていました。しかも、この置き換える方法、とても苦手なんです。。。でも素人が分からない箇所にコメントして頂いていたので、理解できました！！ 丁寧なご回答、ありがとうございました。