不完全性定理は素人には理解できませんか？

質問

不確定性理論は概念として理解できます
でも不完全性定理は？？？
ω無矛盾性や公理系とかどうもわかったようなわからんような、、、
正直しっくりこないです

どなたか単純な系を例示して御教授いただけませんか？

回答No.1

kabaokaba

あえて徹底的に，矮小化してみる

(A) この文は間違っている

これが不完全性定理のバックボーン．

(A)が間違っているのであれば，「(A)は正しい」ことになる．
これは矛盾

(A)が正しいのあれば，「(A)は間違っている」ことになる．
これは矛盾

ということで，(A)は正しいとも間違っているともいえないわけで
「不完全な体系」ができあがる．

まあ，こんな感じ
＃実際はもっと複雑かつ厳密だけどねー

ついでに同じようなものに
「停止の判定」って問題もある．
チューリングって人を調べるとすぐわかるけど
根っこは同じようなものなので参考になるかも．

さらにおまけ．超おおざっぱに言えば，
不完全性定理ってのは「数」を導入すると現れるんだけど
じゃあ，数がなければ・・完全性定理ってのが証明できます．
こっちの方が内容は分かりしやすいかもしれない．