デーデルの不完全性定理の素朴な疑問

質問

具体的なことはよくわからないのですが、
数学の系が無矛盾ではありえないというのがゲーデルの不完全性定理
だとするなら、その不完全な数学によって設計された飛行機や
電車などが設計通りに動くのはなぜですか？
数学の不完全性というのは誤差の範囲なのでしょうか？
お分かりの方いらっしゃいましたらご教授ください。

回答No.7

sheep67 · ベストアンサー

数学は素人なのでわかってるかどうかはわからないけど・・

１．「数学の系が無矛盾ではありえないというのがゲーデルの不完全性定理」と言う文が多分間違い

不完全性定理は、矛盾がないことを証明できない、という証明だったと思います。
YESかNOか判らない、黒か白か判らないということが論理的に証明されたんだと思います。

つまり、「矛盾がないことを証明できない」、という言葉の意味は、
二者択一で、矛盾があるか？ないか？、イエスかーノーか？　という話ではなく、
数学が自分の正しさについて　矛盾があるかないかわからない＝「答えを出せない」という論理的結論だと思います。

つまり「無矛盾ではありえない」と質問文に書かれてる内容が、ちょっとずれてると思います。
つまり、「もしかしたら無矛盾かもしれない、あるいは矛盾かもしれない」ということで、
どっちになるかがそもそもわかりません、という内容だと思っています。

イエスかノーか証明はできないし、正しいのか間違ってるのか人間にはわからない、という意味で、
自然数（１．２．３・・・）に基づいた論理的で体系的な思考の一つの限界の証明だと思います。

２．物理と数学の違い

飛行機や電車になると、これは物理学です。

物理は数学より現実的な学問で、論理的に正しいかどうかで動くのではなく、
ある実験精度で、何度やっても同じ結論が出る、という現実的な実験結果に基づくことが、
その正しさの由来になってるので、不思議はないと思います。

この実験結果は、測定に基づくので、ある確率とある精度の範囲内で有効なものです。
その実験結果の正しさは、人間が現実的に使用する上で、間違いのない程度の確からしさで、その正しさは保証されています。
でも数学のように、論理的に正しいことが証明されてるわけではありませんが、
物理学を実行上現実的に利用する上での正しさは実験の精度によって保証されてるから、飛行機や電車が正しく動くことは不思議ではないと思います。
いまだに相対性理論でも量子力学でも、ニュートン力学でも、毎日毎日その正しさが検証されて、日々正しさが証明され続けている、というのが実情ではないかと思います。

物理学は、論理的というより、現実的な学問です。
現実的な物理学にとっては、形而上的な数学は、使い勝手の良い道具です。
物理学によってロケットや飛行機が正しく飛ぶことが、数学の論理的正しさを証明しているわけではない、ということになります。

お礼

わかりやすいご説明ありがとうございました

回答No.9

gjieropgfjarep

まず完全という言葉について正しく理解する必要があります。
数学（というよりも、ここで考えられている体系）には公理という最初に与えられているルールがいくつかあるのですが、完全というのは、その体系の中のどんな命題を持ってきても最初の公理から出発して証明か反証ができる、という意味です。
そして（第一）不完全性定理というのは、無矛盾な体系には証明も反証もできない命題が存在する、という内容です。
これはまぁ、有限個のルールから有限ステップの記号操作だけで全部の命題に到達できるわけないよね、ということなので、そりゃあそうだろうなと私は思うんですけど…
この定理を持ちだして神がどうしたとか人間は不完全だとか言い出す連中はサクッと無視して構いません。

飛行機や電車などが設計どおり動くのは、数学以外の人たちの実験や試行錯誤の貢献のほうが大きいと思うので、彼らに感謝してください。

回答No.8

m2052

数学まんがの原作を読んでいたらたまたま「ゲーデルの不完全定理」の巻でした。
自分のためにと思って、回答をつくっていたところ以前の回答をみつけました。
参考ＵＲＬをご覧ください。

以下、わたしのメモです。

ゲーデルの不完全定理は、構文的方法─真偽値を使わず論理式の形に注目して、意味を考えず形だけを考えます。

数学⇔形式的体系
命題⇔論理式
公理⇔形式的公理
証明⇔形式的証明
定理⇔形式的定理
以上は、区別しなければならないと、その原作本にも書いてあります。

「言葉に頼るのではなく数式に頼る」
「否定」も「矛盾」も数学的用語にすぎない。辞書的な意味で誤解しやすい用語。
その誤解しないために「知らんぷりゲーム」が何度もでてきます。

「ゲーデルの不完全性定理は、数学的条件を省略すると過激に聞こえるものだ。また《不完全》という言葉の数学的な意味を無視し、辞書的な意味に惑わされると、数学の範囲を越えた結論を導く危険性もある」が回答になると思います。

参考URL：

http://okwave.jp/qa/q6014466.html

回答No.6

ok9608

参考になるようでしたら　どうぞ

(1)ゲーデルの不完全性定理は論理学（数学、物理学、多くの科学（医学など）、論理学をベースにした多くの論文）が不完全であることを証明したものではない　と思います。論理学の構造は　無矛盾の公理（定義）から演繹により導かれる命題群の一つの系となります。最も重要なことはこの公理の証明が出来ないということです。だからと言って公理の否定が証明されてはいないのです。自分自身的中心は自分では証明されないということです。しかし別の公理を立てれば別の系（論理構造）が構築されるということです。これは　新しい公理を立てるというクリエイティブな発想によって新しい論理構造が成り立つことを保証しているものです。

(2)数学のユークリッドと非ユークリッドはよくゲーデルの説明に使われるところと思います。それに対して厳密にはユークリッドはゲーデルの不完全性定理が成り立つ条件を満たさないという指摘がありますが　ことに対しては現代数学では条件を満たす拡張ユークリッドが確立させています。

(3)物理学（科学）は数学を用いた記述をしていますが　実証（実験）データにより論述数式が成り立つか否か決められていきます。数学的記述に矛盾がある物理学（科学）は　認められませんが、矛盾がない場合でも実証がないものは　認められないということです。

(2)飛行機は設計図通りに作られるとして、その設計図は数学ベースに成り立っているとすれば　設計図は飛行機以前に製品としての実証がされています。だから問題なく飛行機は製造されているということでしょう。しかし工学（飛行機だけではなく）の他の一面も観ておく必要があります。工学的に重要なことは　入力が同じなら出力は同じ（パラメーターは固定）という実証的繰り返しの保証です。論理学的には必ずしも証明されていなくてもいいのです。エンジン飛行機が最初に飛んだときゲーデルの不完全性定理は見出されてはいなかったのです。工学においては　実生活において役立つ製品（ソフト、ハード）を　なんらかの手段を使って　創造する　ことは　重要であると思います。

　　以上、失礼しました。

回答No.5

ga111

とくに設計に影響があると思われるユークリッド幾何学はゲーデルの不完全性定理の守備範囲の外（成立しない）だそうです。

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B2%E3%83%BC%E3%83%87%E3%83%AB%E3%81%AE%E4%B8%8D%E5%AE%8C%E5%85%A8%E6%80%A7%E5%AE%9A%E7%90%86#.E3.82.B2.E3.83.BC.E3.83.87.E3.83.AB.E3.81.AE.E5.AE.9A.E7.90.86.E3.81.AB.E9.96.A2.E3.81.99.E3.82.8B.E5.88.B6.E9.99.90

ゲーデルの定理が成り立つのは、飽くまで定理が必要としている仮定を満足するような形式的体系の中に限られる。全ての公理系がこれらの仮定を満たす訳ではなく、中には自然数を部分集合として含むようなモデルを持っていてもなお仮定を満たさないような公理系もある。例えば、ユークリッド幾何学の一階公理化理論、実閉体の理論、乗算が全域で可能なことを証明できないような算術理論、これらは何れもゲーデルの定理に必要な仮定を満たさない

回答No.4

minodaiski

「無矛盾ではありえない」

のではなく、

「無矛盾であることを証明できない」

のです。例え無矛盾でも、それ自身では証明できない、ということです。
(ある体系 L が無矛盾だとしても、L 自身を用いて証明することはできない。)

最も基本的な論理の形式的体系 (一階述語論理) そのものは無矛盾(完全性定理) ですが、その証明をこの体系の中の形式的証明として構成できるかは別の問題です。

完全性定理の「証明」には、「数え上げ」の操作が現れるということなので、少なくとも、一階述語論理の無矛盾性を形式的に構成するには、
「自然数についての公理系を与えられた一階述語論理の形式的体系」... (系Ln)

が必要になります。

ところで、矛盾する体系での証明(演繹) に価値はないのですから、先ずは(系Ln) が無矛盾であることを証明せねばなりません。

ところが、不完全性定理からは、

「系Ln が無矛盾ならば、系Ln の無矛盾性を、系Ln の形式的証明としては構成できない) 」

ことがいえます。

結局、一階述語論理の無矛盾性の形式的な証明は構築できても、その基盤となる、

"自然数についての公理系を与えられた一階述語論理の形式的体系"

の無矛盾性は、それ自身をもっては(形式的に)構築できない。のです。不完全性定理はかなり強力で、例え 系Ln に何らかの拡張を施しても、自然数についての公理系を持つ限り、呪い

『自身の無矛盾を示せない』

からは逃れることができません。

かといって、自然数の概念を追放などできるはずもないので、

1. 一階述語論理は完全性定理があるので良しとする。

2. 数学については、矛盾が見つかり次第叩き潰す。

... という方向性になります。ヒルベルトの計画の否定的結末、などと紹介されることがあります。

完全性定理のおかげで、論理式を形式的に扱っても、意味を通して扱っても同じ結果になる上、矛盾も(論理的操作からは)生じない事が保証されます。

また、数学の場合は、素朴集合論から既知の矛盾 (パラドクス) を回避するように調整された公理系が構築され、「今のところ矛盾は見られない」状況です。'全集合の設定' は有名な防止策ですね。

「絶対的な無繆性の上に数学を構築する」

という理想は実現していませんが、決して矛盾を許さないという姿勢は非常に厳しいものです。

回答No.3

雪中庵（@psytex）

ゲーデルは、不完全性定理の前に、完全性定理を証明しています。
限定された“正しさ”が与えられれば、その範囲での完全な論理
展開は可能である、というものです。
たとえば、ユークリッド幾何学の公理系において、平行線定理は
証明できず、それゆえ「ユークリッド幾何学は正しい」とは言えず、
「直線の外の点を通る別の直線は１本引ける」という平行線定理に
対して、「１本も引けない（正の曲率）」、「たくさん引ける（負の曲率）」
といった複数の非ユークリッド幾何学が成立するのです。
そこにおいて、あなたは数学の時間にユークリッド幾何学に基づいて
ノートに作図し、電車も設計できますが、実際は非ユークリッド的で
あり、亜光速や宇宙的スケールの現象の記述においては、補正が
必要になるのです。

回答No.2

hekiyu

遊びがあるからです。

例えば、穴一つとっても、それは　１０，４５～１０，４８
の間に収まれば、飛行機は完成することが出来ます。

科学と技術は違うのです。

回答No.1

f272

数学が不完全だということから，数学によって設計された飛行機や電車が不完全だということは，導かれない。