「e^πi=-1」を理解するには？

質問

「e^πi=-1」を理解するには最低限どれだけの単元の知識が必要でしょうか？
成り立ちの意味さえ分かれば結構です。
一応、数IIまではなんとかやり直しましたが
なにせ中二で挫折し高校は白紙で答案を出していたほどの数学オンチですので
分からなくても仕方ないとは思ってはいます。
ただ、人類の至宝と呼ばれているこの式を、もし理解出来たならもの凄く嬉しいと思います。

回答No.1

spring135 · ベストアンサー

exp(ix)=cosx+isin(x)　　(1)

が判ればよい。(x=πのときe^πi=-1）

(1)はテーラー展開

cosx=1-x^2/2!+x^4/4!+.....(2)

sinx=x-x^3/3!+x^5/5!-.....(3)

exp(x)=1+x+x^2/2!+x^3/3!+......(4)

が判ればよい

(4)においてxにixを代入すれば(2)、(3)を使って(1)に至る。

(1)にどんな突飛な意味があるのか知りませんが実用上は単なる

テーラー展開による計算に過ぎません。

高校の数学II（？）で習うのではないですか。

高校の数学をやり直すのが一番手っ取り早いと思います。

＞人類の至宝と呼ばれているこの式を

数学に居運￥身をもたれることは大いに有意義です。

人生を豊かにしてくれます。

しかしあまり観念的に捕らえないでもいいのではありませんか。

お礼

確かに、分からないので過剰に憧れを持っているのかもしれません。
とりあえず高校数学をやり直します。
ご回答ありがとうございました。

回答No.2

noname2727

e^(ix)という関数は、複素数平面において単位円上に現れる点の集合であります。
この場合、ｘ＝πなので、１８０°正向きに回転させたところにあるものが求めるものです。
つまり、e^(πi)=-1であります。

数IIまで習っているのであれば、複素数の概念を少し学べば十分理解できると思います。
とりあえず、オイラーの公式あたりをググってみましょう。

お礼

ああ！！複素数平面上だから「i」が出てくるんですね？
恥ずかしながら「e」を導く式は分かっているものの
「e」の役割がまるで分かってません。
「e」の性質と、No.1の方が仰っていた
「テーラー展開」が分かれば、何とかなりそうな気がしてきました。
ご回答ありがとうございます。