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オイラーの定理について
オイラーの定理について教えてください。 ① オイラーの定理、 【 e^(iπ)＝－１ 】 はどういうことを言っているのでしょうか。 数学音痴にも分かるように説明していただけるとありがたいです。 ② 定理は、「人類の至宝」と言われるそうですが、それはなぜですか？ どういう点が、それほど価値のあることなのでしょうか？ 以上の①②をご教示くださいますよう、お願いします。(_ _)
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- chie65536（@chie65535）
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＞① オイラーの定理、 ＞【 e^(iπ)＝－１ 】 ＞はどういうことを言っているのでしょうか。 上記の等式の名称は「オイラーの等式」といいます。 「オイラーの定理」は、まったく別の定理です。 また「オイラーの公式」は「オイラーの等式」の元になった公式で、オイラーの等式とは別物です。 オイラーは偉大な数学者なので「オイラーの〇〇」と言うのが沢山あるので、混同しないように注意しましょう。 んで、オイラーの等式は、オイラーの公式である e^{iΘ} = cos Θ+i sin Θ の「Θ」に「π」を代入して得られる等式です。 cos π = -1、sin π = 0なので、右辺は -1 + i × 0 、つまり「-1」になります。 右辺の -1 を左辺に移行すると、オイラーの等式は e^{iπ} + 1 = 0 となり、ネイピア数e、虚数単位i、円周率π、乗法単位元1、加法単位元0の５つの数が組み合わさって等式を成す「世界一美しい等式」と言われています。 この等式が美しいとされる理由は、互いに関係なさそうに思える概念どうしの関係を1つの等式で表現している点です。 オイラーの数、三角関数、虚数単位といった概念は独立しているように見えますが、実は相互に関係しており、この等式はその関係を具体的に表しています。 「関係なさそうに見える概念が、実は密接に相互に関係している」という「数学を研究する上で忘れてはならないこと」を表す、非常に重要な意味のある等式なのです。
お礼
詳しいご解説をありがとうございました。 ＞上記の等式の名称は「オイラーの等式」といいます。 「オイラーの定理」は、まったく別の定理です。 また「オイラーの公式」は「オイラーの等式」の元になった公式で、オイラーの等式とは別物です。 ⇒そうですか。全然知りませんでした。 ＞ネイピア数e、虚数単位i、円周率π、乗法単位元1、加法単位元0の５つの数が組み合わさって等式を成す「世界一美しい等式」と言われています。 ⇒高校時代のワル友が言ってました。 「宝島なら知っテイラー、けど人類の至宝なんて、オイラー、知らネイピア！ センコーには申し訳ネイピアけんどよ、オイラー、もうケツマクローリン！…」。_x_! …どうも、失礼しました。 ＞この等式が美しいとされる理由は、互いに関係なさそうに思える概念どうしの関係を1つの等式で表現している点です。 オイラーの数、三角関数、虚数単位といった概念は独立しているように見えますが、実は相互に関係しており、この等式はその関係を具体的に表しています。 ⇒そうなんですよね。私の頭の中ではいろいろな概念がバラバラで、全然つながらないのです！ …そんなわけで、何とか「eをiπ乗する」とはどういうことかとか、「このように複素数を含む方程式が現実世界とどう関わるのか」とか、その様態を想像することができません。そんなの邪道と言われるかも知れませんが、何か目に見える形に適用するなり、なぞらえるなりして、「ボンクラ」に分かるような説明をしていただけませんでしょうか。荒唐無稽なお願いで恐縮ですが、何らかのヒントをいただければ幸いに存じます。
①オイラーの定理 e^<iπ>＝－1っていうのは、数学史上一番美しい式と言われています。ネイピア数（自然対数の底）のe、2乗して－1になる不思議な数i、円周率のπ、これら直感的にまったく無関係と思われる数は、実は深い関わりをもっており、数学の基本的なテクニックを駆使すると整数（移項すると０）になってしまいます。これが、美しいといわれる所です。 ②定理について 決まりきっていて動くことのない理屈です。つまり、ないとこの世にある数式がすべて機能しなくなるということです。簡単に言えば。1+1=2っていうのが成り立たなくなるということ。わかりずらかったらすいません。
お礼
ご回答くださり、ありがとうございました。 参考にさせていただきます。
- maskoto
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オイラーの公式 e＾(iθ)＝cosθ+isinθ…① に、θ＝πを代入で e＾(iπ)＝cosπ+isinπ＝-1です (これに関しては、複素数平面(高校の教科書にある基本レベル)についてちょっと研究してもらえれば理解も深まるかと思います) ↔e＾(iπ)+1＝0 には、整数の0、単位の1 無理関数の代表者ともいえるe、π そしてiが登場していてこれらがキレイに結びついているところは素人の私から見てもすごいと感じます それに加え、電気工学を学んだ私からすると ①自体がとても有難い数式と感じます 例えば、電気の交流回路を表す式は 微分と積分が混在する 微積分方程式となることが多いです この微積分方程式を一々解くのは時間もかかりとても面倒です しかし、微積分方程式を複素数の方程式に変換する方法が見つかり、微積分方程式を扱うよりはかなり楽になりました この複素数の方程式を扱う際に①が活躍してくれるので ①は至宝だと感じています 電気工学に限らず、物理学や数学において 微積分方程式の解析には①がとても重要となりますので、まさに宝と言えるかと思います
お礼
ご丁寧なご回答、ありがとうございました。理系の方から見たら「何たる愚問」と思われるに違いありませんが、なお、幾つか教えてください。 ＞オイラーの公式 e＾(iθ)＝cosθ+isinθ…① に、θ＝πを代入で e＾(iπ)＝cosπ+isinπ＝-1です (これに関しては、複素数平面(高校の教科書にある基本レベル)についてちょっと研究してもらえれば理解も深まるかと思います) ↔e＾(iπ)+1＝0 には、整数の0、単位の1 無理関数の代表者ともいえるe、π そしてiが登場していてこれらがキレイに結びついているところは素人の私から見てもすごいと感じます ⇒正直、「eをiπ乗する」ということがどういうことなのかとか、それが何を意味するのかといった、おそらく超基本的なことが分からず、困っております。どうか、かみ砕いて教えてください。お願いします。 ＞それに加え、電気工学を学んだ私からすると ①自体がとても有難い数式と感じます 例えば、電気の交流回路を表す式は 微分と積分が混在する 微積分方程式となることが多いです この微積分方程式を一々解くのは時間もかかりとても面倒です しかし、微積分方程式を複素数の方程式に変換する方法が見つかり、微積分方程式を扱うよりはかなり楽になりました ⇒すみません、その電気の交流回路を表す微積分方程式は、現実・具体的に何をする時に役立つのでしょうか。（例えば、電線の太さを決める時とかでしょうか？） ＞この複素数の方程式を扱う際に①が活躍してくれるので ①は至宝だと感じています 電気工学に限らず、物理学や数学において 微積分方程式の解析には①がとても重要となりますので、まさに宝と言えるかと思います ⇒例えば、同じく「人類の至宝」と言われるピタゴラスの定理などは、日常的な局面で役立つことはよく分かります。一方、笑われるかも知れませんが、このように複素数を含む方程式が現実世界とどう関わるのかその様態を想像することができません。どうか、「数学的丸バカ」にやさしい具体例を挙げてご説明いただけませんでしょうか。 以上、お礼方々、厚顔無恥なお願いまで。
- f272
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複素数a+biの指数関数は e^(a+bi)=(e^a)*(cos(b)+i*sin(b)) で定義されます。このように定義することで実数e^xのマクローリン展開1+x+x^2/2!+...を拡張したものになる。 ここでa=0，b=πとすれば e^(πi)=(e^0)*(cos(π)+i*sin(π))=-1 になります。 eとπとiが組み合わさると-1になるなんてなんて美しい式なんでしょう。この美しさは人類の至宝といっても過言ではありません。
お礼
ご回答ありがとうございました。 お書きの内容、十分消化しきれていません*が、とりあえずありがたく拝受いたします。 ＊なにしろ、学部（院も）が文系でしたので、理系はどうも弱いです。それでも、学部時代の教養数学はもったいないほどよい評価をいただいたことを思い出し、「やればできる！」とばかり、ン十年ぶりに理数的頭の体操を思い立った次第です。 そんなわけでございますので、頓珍漢なことを言い出して足手まといかも知れませんが、どうぞ今後ともよろしくお願い致します。
お礼