eってなんでしょう？

質問

高校の数学で2つほど質問があります。
・よくf(x)というのがでてくるんですが、実はあんまりこの式を理解してません。今まで問を解く上では問題なかったのですが、最近になってg(f(x))や、h(g(f(x)))などとややこしい物がでてきて困っております。そもそもf(x)がなにを示しているのか、y=～の式とはどう違うのか分かりません。
・まえまえからeというのはでて来たんですが、これもあんまり理解していません。また、これも問題を解く上では理解していなくても差し支えないのですが、これからも度々出てきそうな文字なので理解しておきたいと思いました。教師は自然界には常にeという数字が出てくる、みたいなことをいっていました。どう自然と関係しているのでしょうか。
数学では何かと苦戦しています。もしよければどなたか分かりやすく教えてください。お願いします m(__)m

回答No.2

tkm · ベストアンサー

#1さんの言うようにf(x)は関数fがxという変数から出来ていますよ、というのをはっきりと述べているだけです
よって y=x+2 y=x^2+3x+1 y=x などxから出来ている関数は全てf(x)と表されます

g(f(x))は合成関数といいます。少しややこしいので具体例を出してみましょう
g(x)=x+2
f(x)=2x-1
だったとします。ところで
f(1)=2*1-1=1
というように書きます。これはxが1の時関数fの値は1ですよということを表しています。これは
y=2x-1 は x=1 のとき y=1 である、といっているのと同じです
つまりf(x)の括弧の中には数字を代入することができ、その値はその関数において、xがいくらかの時の値を示しているのです
ここで合成関数の話に戻りますが括弧の中には関数も入れられるのです。先ほどの例でいうと
g(f(x))=f(x)+2=2x-1+2=2x+1
となります。
このあたりは教科書などを読んでも最初は分かりにくいと思います。私もわかりにくかった記憶があります。解説を見ながら問題をどんどん解くのが理解を早めるコツだと思います

次にeですがこれはネピアの定数といいます
lim[n→∞] (1 + 1/n)^n
上の式は値を持つ、つまり
(1 + 1/n)^n
のnをどんどん大きくしていくとある数に収束することは昔から証明されていました。この極限値をeと定めています。大体e=2.71828…という値で無理数です
このeは自然界の様々な現象を表すのに役立っています。確かに高校でeの本質までは学ばないと思いますが色々と便利なものなのです
例えば人口増加率はそのときの人口に比例するといわれていますがこれを初期人数をA,時間をtとすると
y=A*e^t
とeを使って表せます。yは時間tに対する人口です。少し話が戻りますがこの式はtの関数なので
f(t)=A*e^t
とも書けますね
そのほかにもオイラーの法則や微分しても変わらない性質などがありeは非常に有用です
私も詳しくしってるわけではありませんが興味があるならご自分で調べてみても面白いと思います

お礼

分かりやすいご説明により、馬鹿な私でも理解することが出来ました。ありがとうございます。もう合成関数っていうのもこわくありません！練習に問題を解いていこうと思います。後は慣れですよね。eについても何となく分かりました。高校の段階ではそこまで深入りしないので何となく程度に理解しておけばいいですよね。本当に分かりやすい回答ありがとうございました。

回答No.5

ensof

数IIIの問題で修練を積めば、おのずと感覚的にわかってくるものと思いますが、なんの役に立つのか？ということを私のわかる範囲で説明したいと思います。

☆f(x)・・・関数
確かにy=f(x)の形が多く見られますが、
「f(x)とは、ある値ｘを入れたらそれに対応するを値だす装置」
と考えてみてはいかがでしょうか？

・例
f(x)=x+2のとき、f(2)=4
E(x、y)=ｘｙ+ｙ+2のとき、E(1、2)=6

こう表記すれば、
ｘｙ+ｙ+2は、ｘ=1、y=2のとき6である
などと、カッタルイこと書かずに、カッコよく「記号処理」できるわけです。
別に数学に限らず、科学全般で使う表現ですよ。

☆y=f(x)
yが変数・・・x、ｙについての方程式
大抵は、平面座標との対応で考えるといいと思います。

f(x)=ax+b
なら、y=ax+bであり、y=f(x)はｘｙ平面座標で直線を表します。
g(x)=ax^2+bx+c(a≠0)
なら、y=g(x)はｘｙ座標で２次曲線を表します。

のように、グラフが思い浮かびますね？
（あとは指数関数・三角関数・対数関数）

また、一般に
f(x)=（2^x+x^2)(x^5+8）+sinx+logx
のような関数に対しても、
ｘに一つ値を入れると、それに対応するf(x)が定まり、
・・・f(－0.5)、f(0)、f(0.5)、f(1)・・・
と計算していけば、y=f(x)のグラフの概形が描けます・・・が、
数IIIで微分を学び、f(x)を微分することで、色んなグラフを、いちいち代入しなくても、書くことができるようになります。

☆g(f(x))・・・合成関数

合成関数の微分に役立ちます。
関数が合成されてできるという考えをもつことで、
sin2xや、log(x+3)などの微分・積分が考えられるようになります。

☆e
e^xは、それを微分してもe^xで、指数関数や対数関数の微分・積分に大いに役立ちます。

※もちろん、本質的に面白いことは色々あるんですが、実用的な面から言えば、以上のような感じでしょうかねぇ。教科書の、「微分の応用」あたりを学べば、ありがたみがわかります(*´∀｀)ゞ

お礼

＞「f(x)とは、ある値ｘを入れたらそれに対応するを値だす装置」
という説明は非常にわかりやすかったです。おかげですっきりしました。そう考えると合成関数の方も簡単ですね。わざわざ例を取り上げてくださってありがとうございます。

回答No.4

noname#11758

超簡単に説明します。

y=ax+b　という一次式があったとすると

f(x)=ax+b　はカッコの中がxだからxの式
f(y)=ay+b はカッコの中がyだからyの式
f(z)=az+b は・・・・

で表しているだけです。

次、g(f(x))について
g(x)=ax+b ,f(x)=cx+d　だとすると

g(f(x))というのは g(x)のxの中にf(x)の式を入れるということです。すなわち

g(f(x))=a(cx+d)+d　です

同様に
f(g(x))はf(x)のxの中にg(x)を入れるということですから

f(g(x))=c(ax+b)+d　となります.

最初は間違えなどしやすいかもしれませんが、冷静に考えて解けばさほど難しいものではないと思います。

お礼

なるほど、確かに冷静に考えたら意外とそんなにむずかしいことではありませんでした。そう思えるようになったのも皆さんの分かりやすい説明のおかげですね。こんな単純な質問に付き合ってくれてありがとうございました。

回答No.3

chukanshi

eは「自然対数の底（てい）」といいます。
詳しくは以下のページを参照してください。

参考URL：

http://www.asahi-net.or.jp/~tt9h-hskw/sugaku/taisuue/

お礼

eについては紹介してくださったサイトでばっちり（でもないですけど）理解したつもりです。わざわざありがとうございました。

回答No.1

nich

>そもそもf(x)がなにを示しているのか、y=～の式とはどう違うのか分かりません。
ｙ＝の式と実質的には同じです。ただ、ｙ＝～がｘの関数であることを明らかにするため、ｆ（ｘ）と書いているのです。ですから、g(f(x))はf(x)の関数、すなわちg(x)のxの部分をf(x)にしたもの、と考えることができます。
または、複数の関数が出てきても混乱しないように関数に名前を付けている、と考えてもいいでしょう。

ちなみにｆはfunction(関数)の略です。

お礼

早速の御回答ありがとうございました
何となくわかったような気がします
fって関数ってことだったんですか～