測度の拡張が一意でない例を教えて下さい

質問

こんにちは。
早速、題名の通りですが、測度論の拡張定理より、σ~有限な測度は有限加法族からσ加法族への拡張が一意というのを学びましたが、ではそうでない例として有限加法族から一意でない拡張ができる例を探しています。たとえば開集合全体からボレル集合への拡張を考えるとσ有限なので例になっていませんし…。

回答No.1

ramayana

伊藤清三「ルベーグ積分入門」（裳華房）に、次の例が載っています。

全体集合　X = {0, 1, 2, …}
有限加法族　F = {A∈X |A又はAの補集合は、0を含まない有限集合}
測度　m(A) = Aの元の個数（Aが有限集合のとき）
　　　　m(A) = ∞（Aが無限集合のとき）

Fで生成されるσ加法族をGとすれば、G={Xのすべての部分集合}

すると、次のμは、mのGへの拡張になる。

Aが0を含まないとき
　μ(A) = Aの元の個数（Aが有限集合のとき）
　μ(A) = ∞（Aが無限集合のとき）

μ({0}) = 「0から∞までの任意の値」