複素関数

質問

zを複素数として　sinz や cosz から arcsinz と arccoszを求めたとき、どちらも√の前の±が＋のみになっているのですが、それはなぜですか？

回答No.1

c0nfus1an1sm · ベストアンサー

w = sin(z)
をzについて解いて
　z = -i ln( iw ± √(1-w^2) ) ---(A)
となった時に，この±を+にすることが疑問だということですね．
そうした理由は，「arcsin(w)をそのように定義したから」という単純なものです．

そもそも，w が与えられた時に w = sin(z) を満たす z はたくさん存在します．
具体的に言うと，ある z0 が w = sin(z0) を満たしたとすると，
　z0 + 2πi × (整数)　---(B)
　π-z0 + 2πi × (整数) ---(C)
で表されるzはすべて w = sin(z) を みたすので，これらすべてが arcsin(w) の候補になります．
そのなかで，式(A)の±→+としたものだけを arcsin(w) と定義したわけです．
これは式(B) と式(C)のうち一方だけを選んだことになっています．
2πi × (整数) の不定性はまだ残ってるのは，ln の多価性で理解できます．

回答No.2

alice_44

複素関数 √ には、実関数のときの
「√ は２個ある平方根のうち正のほうを表す」
という規約が使えないからです。
複素数には正も負もないので、どちらが √ で
どちらが -√ だか、区別する方法がありません。
だから、±√ で書き分けるのではなく、
両方とも √ だけで表しておき、
２個の √ を区別する必要があるときには、
別途、初期条件を書き添えるなどして
説明するのです。