陰関数の作画方法

質問

2次元の曲線、たとえば、x^7+y^7=1の図形を段ボールで作りたいとしたとき。
陽関数の形に変換して、y=(1-x^7)^(1/7)　をExcelなどで数値を拾ってやれば何とかなります。

陽関数の形に変換が難しい場合、皆さんならどうしますか？（目的はあくまで作図です。点列を適度な精度で生成できれば良い。）
Mathematicaなどはどうやっているのでしょう？

回答No.2

alice_44

x≧0, y≧0 の範囲は
x = (cosθ)^(2/7),
y = (sinθ)^(2/7),
0≦θ≦π/2 で、

x>0, y<0 の範囲は
x = (cosθ)^(2/7),
y = -(tanθ)^(2/7),
0<θ<π/2 で、

x<0, y>0 の範囲は
y = (cosθ)^(2/7),
x = -(tanθ)^(2/7),
0<θ<π/2 で、

パラメータ表示したらよいのではないか。
いくつかの θ を細かく選んで (x,y) をプロットするか、
隣り合う点を線分でつないで多角形近似する。

いつでもこう上手くいくとは限らないが、
パラメータ表示が見つかれば、楽勝。

お礼

回答ありがとうございます。やはり、真っ先に考えるのはパラメータ表示できないかですよね。
x^n+y^n=1　は第一象限で　x=(cosθ)^(2/n),y=(sinθ)^(2/n) (0≦θ≦π/2)
でパラメトライズできますね。気がつかなかった。

回答No.1

中村 拓男（@tknakamuri）

g(x, y) = x^7 + y^7-1 という関数を作り、
x, y を小刻みに変えて g を大量に計算します。

gの符号が反転する境目に点を打つと、陰関数が浮かび上がります。

最近のパソコンなら 1000x1000=100万点位計算しても一瞬です。

お礼

回答ありがとうございます。
甥っ子が早速アルゴリズムを考えているようです。
テーマはどうやら卵形の描画らしく下記の式だそうです。
(x^2+y^2)^2-2a(x^2-y^2)=k^2-a^2 (a,kは0<k<aなる定数)
極座標変換して、r^2=a・cos2θ±√((a・cos2θ)^2+k^2-a^2)で、θを刻んでrを求めたら？っていったんですが、
回答者の方法が気に入ったみたいで、なにやらごそごそやっております。(^▽^)