難問題の系統とその解き方、例題16、角振幅について

質問

<問題>
　水平な直線のレールの上を走る電車の中に単振り子がつるしてある。この振り子の傾きは図のように鉛直方向から前方に向けてはかった角度φで表される。はじめ電車は一定の速度v=36[km/h]で走っており、ある時刻(以後これを時間tの原点にとり t=0 とする)からブレーキをかけて毎秒3.6km/hの割合で一様に減速させるものとする。このときの加速度を-α、重力加速度 g の値を10m/s^2、また以下で出てくる振動はいずれも単振動として、次の問いに答え、途中の考え方も簡単に記せ。

<問い>
(1)減速中に上の振り子を前後にふらすと、振り子はある方向を中心として振動する。その方向を示す角度φdの値は約何radか。
(2)上で考えた振動の周期Td[s]は、等速運動中にふらせた場合の振動の周期T0[s]に比べて何％の増減を示すか。必要があれば、｜x｜≪1 に対する近似式(1+x)^n≒1+nx (nは任意の正負の数)を用いよ。
(3)ブレーキをかけるまで振り子が電車に対して静止していた場合には、以後電車が静止するまでに振り子はどのような運動をするであろうか。φを時間 t の関数として表し、その概略を図で示せ。ただしTd=2.0[s]とする。

～中略～

上記の(3)の解説↓

電車が等速で動いているとき、電車の中からみ見ると振り子は鉛直方向で静止している。次に減速が始まると同時に振り子は、振動の中心がφdで、角振幅もφd、周期Tdの単振動を始める。したがってφdの方向からの糸の角度をθとすると
θ=φdsin(ωt+δ)　(δ：初期位相)
ここでω=2π/Tdで、またt=0のときθ=-φdだからδ=-π/2
よって時刻tにおける鉛直からのふれの角φは
φ=φd+φdsin((2π/Ｔd)t-π/2)
　 =φd(1-cos(2π/Td)t)=0.1(1-cosπt)

に書かれている“角振幅”とは何ですか？
その意味と、この問いの解き方を教えて下さい。

回答No.1

naniwacchi · ベストアンサー

こんにちわ。
通常「振幅」となると、まさに「振れ幅」のことで長さの次元をもっています。
単振り子のようなものであれば、角度を振れを表す量として扱うこともできます。
各振幅は「変位を角度を用いて表しているもの」ということもできます。

そして、解き方というか考え方ですが、
振り子を考える前に、まず電車に乗っていて急ブレーキがかかったところを
想像してみてください。
進行方向に対して「前のめり」になって、倒れそうになりますよね。

振り子も同様に「前のめり」になります。
角度：φ＝φdのところがつりあいの位置になるのですが、
φ＝ 0のところからの「勢い」がついているので、
そのままさらに角度φdだけ振れてしまいます。

逆の見方をすると、φ＝ 0の位置はちょうど振り子の速さも 0になる点
すなわち「折り返し点」になっていると捉えることができます。

あとは、単振動の様子を三角関数(sin)を用いて表し、
さらに初期条件を用いることで角度：φを時間の関数として求めることになります。

お礼

とても分かりやすいご回答ありがとうございました。