命題の問題

質問

失礼、致しました。改めて詳しく書かせていただきます。
〔2〕実数a,bに関する条件p,qを次のように定める。
p:(a+b)^2+(a-2b)^2<5
q:|a+b|<1または|a-2b|<2
(1)命題「q⇒p」に対する反例になっているのは□である。□に入るものを(1)～(4)から選べ。
(1)a=0,b=0
(2)a=1,b=0
(3)a=0,b=1
(4)a=1,b=1
代入後の結果について教えて下さい。
(1)p:0<5,q:-1<0<または-2<0<2
(2)p:2<5,q:-1<1<1または-2<1<2
(3)p:2<5,q:-1<1<1または-2<2<2
(4)p:5=5,q:-1<2<1または-2<-1<2
となったのですが、(2)(3)のqの答えが不安なのですが、合ってますか?

(2)命題「p⇒q」の対偶は、「□⇒□」である。
□に当てはまるものを(1)～(8)のうちから一つずつ選べ。
q:(1)|a+b|<1かつ|a-2b|　　　　(2)|a+b|<1または|a-2b|
　(3)|a+b|≧1かつ|a-2b|≧2
　(4)|a+b|≧または|a-2b|≧2
p:(5)(a+b)^2+(a-2b)^2<5　
　(6)(a+b)^2+(a-2b)^2≦5
　(7)(a+b)^2+(a-2b)>5
　(8)(a+b)^2+(a-2b)≧5
(1)～(4)は、ド・モルガンの法則で￣AまたはB=￣Aかつ￣Bで「かつ」のどれかだと分かるのですが、<の対偶が≧なのでしょうか?なぜ(1)は、違うのでしょうか?

(5)～(8)は、(a+b)^2+(a-2b)^2<5の対偶が、なぜ (a+b)^2+(a-2b)≧5なのか教えて下さい。
長文すみません！

回答No.3

ferien · ベストアンサー

ANo.2です。お詫びです。
実は、以前同じ問題に回答したことがあるので、回答の問題の番号がずれていますが、
無視して下さい。質問の問題の番号で読み替えて下さい。
よろしくお願いします。

お礼

有り難う御座いました。

回答No.2

ferien

＞〔2〕実数a,bに関する条件p,qを次のように定める。
p:(a+b)^2+(a-2b)^2<5
q:|a+b|<1または|a-2b|<2
(1)命題「q⇒p」に対する反例になっているのは□である。□に入るものを(1)～(4)から選べ。
(1)a=0,b=0
(2)a=1,b=0
(3)a=0,b=1
(4)a=1,b=1
代入後の結果について教えて下さい。
(1)p:0<5,q:-1<0<または-2<0<2
(2)p:2<5,q:-1<1<1または-2<1<2
(3)p:2<5,q:-1<1<1または-2<2<2
(4)p:5=5,q:-1<2<1または-2<-1<2
＞となったのですが、(2)(3)のqの答えが不安なのですが、合ってますか?

設問の全部の場合をｐとｑの式に代入してみました。（書き方もこういう感じでいいと思います。）
（０）ａ＝０，ｂ＝０のとき、
ｑ：｜０｜＝０＜１または｜０｜＝０＜２で真
ｐ：０^2＋０^2＝０＜５で真　だから（ｑならばｐ）は真
（１）ａ＝１，ｂ＝０のとき
ｑ：｜１｜＝１＜１または｜１｜＝１＜２　どちらかが成り立てばよいから真
ｐ：１^2＋１^2＝２＜５で真　だから（ｑならばｐ）は真
（２）ａ＝０，ｂ＝１のとき
ｑ：｜１｜＝１＜１または｜－２｜＝２＜２で偽
ｐ：１^2＋（－２）^2＝５＜５で偽　だから（ｑならばｐ）は真
（３）ａ＝１，ｂ＝１のとき
ｑ：｜２｜＝２＜１または｜－１｜＝１＜２　で真
ｐ：２^2＋（－１）^2＝５＜５で偽　だから（ｑならばｐ）は偽

（３）のとき、命題が偽なので、反例になります。
「ｑならばｐ」で、ｑが真ｐが偽の時だけ、ｑならばｐは偽　になります。

＞(2)命題「p⇒q」の対偶は、「□⇒□」である。
□に当てはまるものを(1)～(8)のうちから一つずつ選べ。
q:(1)|a+b|<1かつ|a-2b|　　　　(2)|a+b|<1または|a-2b|
　(3)|a+b|≧1かつ|a-2b|≧2
　(4)|a+b|≧または|a-2b|≧2
p:(5)(a+b)^2+(a-2b)^2<5　
　(6)(a+b)^2+(a-2b)^2≦5
　(7)(a+b)^2+(a-2b)>5
　(8)(a+b)^2+(a-2b)≧5
(1)～(4)は、ド・モルガンの法則で￣AまたはB=￣Aかつ￣Bで「かつ」のどれかだと分かるのですが、
＞<の対偶が≧なのでしょうか?なぜ(1)は、違うのでしょうか?
＞(5)～(8)は、(a+b)^2+(a-2b)^2<5の対偶が、なぜ (a+b)^2+(a-2b)≧5なのか教えて下さい。

対偶は、命題「p⇒q」に対する「ｑでない⇒ｐでない」という命題のことです。
「ｐでない」は、ｐの否定，「ｑでない」は、ｑの否定です。
問題は、ｑの否定とｐの否定を選ぶことです。

＜の否定が≧，＞の否定が≦　です。
数直線で数の範囲を表す場合などを考えてみれば分かります。
例えば、ｘ＜１のｘの範囲は、１を含まずその左側、
ｘ＜１の否定は、ｘ≧１（１≦ｘ）で、１を含んで右側全部になります。
ｘ＜１の範囲で表されない残りの範囲がｘ＜１の否定（ｘ≧１，１≦ｘ）です。
（数直線を描いてみれば、分かります。）
だから、
＞ｐ：（ａ＋ｂ）^2＋（ａ－２ｂ）^2＜５
ｐでない：（ａ＋ｂ）^2＋（ａ－２ｂ）^2≧５　……（４）
＞ｑ：｜ａ＋ｂ｜＜１　または ｜ａ－２ｂ｜＜２
ｑでない：｜ａ＋ｂ｜≧１　かつ ｜ａ－２ｂ｜≧２　……（７）
になります。

どうでしょうか？

回答No.1

masssyu

（1）
自分で書くぶんには間違えではありませんが、筆記試験でそのような書き方をしたら、おそらく減点されてしまいます。

（2）
X＜0　これは　Xは0未満　です

ここで「未満」というのは、「未だ満たされていない」ということです

つまり、0には限りなく近いが、0ではない

これの反対（対偶）は、「0である。または0より大きい」です

なのでまず、
0である。　すなわち　X＝0　・・・(1)

0より大きい　すなわち　X＞0　・・・(2)

(1)、(2)を組み合わせて、X≧0

お礼

有り難う御座いました。