統計力学の問題です。解答解説がなく困っています

質問

孔でつながった二つの同体積の容器A,B中に合計でN個の単原子気体分子が入っ
ている。それぞれの容器A,Bに入っている気体分子の数をNa,Nbとするとき 
(1)Na=nである確率を求めよ.
(2)Na,Nbがそれぞれいくつの時が最も高い確率で実現されるか
(3)N=10の時,P(n)をnの関数としてグラフを描け。

よろしくおねがいします。

回答No.2

drmuraberg · ベストアンサー

(1)確率をP(N,n)とするとP(N,n)= C[N,n]・(1/2)^N

(2)P(N,n)が上の式でも、その最大値を求めるのは一筋縄では行かない。
　統計力学でエントロピSが場合の数WとS=klog*Wで表される事を利用。

　このSが最大になるnを求めてみる。
　W∝Pだから、Pを考えればよい。
　log*P= Nlog(1/2)+ log*C[N,n]
　= Nlog(1/2)+ log*[N!/｛n!(N-n)!｝]

　ここでN,n>>1の時に成立つスターリングの公式を使います。
　　log*N! = Nlog*N - N
　代入して整理すると、
　log*P = Nlog(1/2)+ Nlog*N - nlog*n -(N-n)log*(N-n)

　ここで、log*Pが最大になるnを求める。
　d(log*P)/dn = -log*n -1+ log*(N-n) +1 =0
　よって
　log｛(N-n)/n｝=0
(N-n)/n = 1
つまり
　 n=N/2
の時にP(log*P,log*Wつまり系のエントロピー）は最大。

3)は1)式でN=10と置き、n=1,2,3,・・・・10と変えて、
　n　対 P(10,n)のグラフを描けばよい。エクセルで簡単にできる。

回答No.1

Quarks

確率の問題です。

(1)個々の分子が、Ａにある確率＝１/２（Ｂにある確率も同じ）。
ｎ個の分子がＡに存在する場合の数は　組合せ　Ｎ個からｎ個を選ぶ選び方で　C[N,ｎ]
∴求める確率＝C[N,n]・(1/2)^N=…
(2)C[N,n]・(1/2)^N＝…
最大値は　C[N,n]が最大になる場合だから　ｎ＝…　のとき
(3)　(2)をｎ＝１，２，３…、９，１０　の場合で調べるだけです。解は省略。